Архив рубрики: Задачи на изгиб. Изгибающий момент и поперечная сила
Прямой изгиб. Плоский поперечный изгиб Построение эпюр внутренних силовых факторов для балок Построение эпюр Q и М по уравнениям Построение эпюр Q и М по характерным сечениям (точкам) Расчёты на прочность при прямом изгибе балок Главные напряжения при изгибе. Полная проверка прочности балок Понятие о центре изгиба Определение перемещений в балках при изгибе. Понятия деформации балок и условия их жёсткости Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Метод непосредственного интегрирования Примеры определения перемещений в балках методом непосредственного интегрирования Физический смысл постоянных интегрирования Метод начальных параметров (универсальное уравнение изогнутой оси балки). Примеры определения перемещений в балке по методу начальных параметров Определение перемещений по методу Мора. Правило А.К. Верещагина. Вычисление интеграла Мора по правилу А.К. Верещагина Примеры определения перемещений посредством интеграла Мора Библиографический список Прямой изгиб. Плоский поперечный изгиб. 1.1. Построение эпюр внутренних силовых факторов для балок Прямым изгибом называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила. В частном случае, поперечная сила может быть равна нулю, тогда изгиб называется чистым. При плоском поперечном изгибе все силы расположены в одной из главных плоскостей инерции стержня и перпендикулярны его продольной оси, в той же плоскости расположены моменты (рис. 1.1, а,б). Рис. 1.1 Поперечная сила в произвольном поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на нормаль к оси балки всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Поперечная сила в сечении m-n балки (рис. 1.2, а) считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа – вниз, и отрицательной – в противоположном случае (рис. 1.2, б). Рис. 1.2 Вычисляя поперечную силу в данном сечении, внешние силы, лежащие слева от сечения, берут со знаком плюс, если они направлены вверх, и со знаком минус, если вниз. Для правой части балки – наоборот. 5 Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центральной оси z сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Изгибающий момент в сечении m-n балки (рис. 1.3, а) считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по стрелке часов, а справа – против часовой стрелки, и отрицательным – в противоположном случае (рис. 1.3, б). Рис. 1.3 При вычислении изгибающего момента в данном сечении моменты внешних сил, лежащие слева от сечения, считаются положительными, если они направлены по ходу часовой стрелки. Для правой части балки – наоборот. Удобно определять знак изгибающего момента по характеру деформации балки. Изгибающий момент считается положительным, если в рассматриваемом сечении отсечённая часть балки изгибается выпуклостью вниз, т. е. растягиваются нижние волокна. В противоположном случае изгибающий момент в сечении отрицательный. Между изгибающим моментом М, поперечной силой Q и интенсивностью нагрузки q существуют дифференциальные зависимости. 1. Первая производная от поперечной силы по абсциссе сечения равна интенсивности распределенной нагрузки, т.е. . (1.1) 2. Первая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна поперечной силе, т. е. . (1.2) 3. Вторая производная по абсциссе сечения равна интенсивности распределённой нагрузки, т. е. . (1.3) Распределенную нагрузку, направленную вверх, считаем положительной. Из дифференциальных зависимостей между М, Q, q вытекает ряд важных выводов: 1. Если на участке балки: а) поперечная сила положительна, то изгибающий момент возрастает; б) поперечная сила отрицательна, то изгибающий момент убывает; в) поперечная сила равна нулю, то изгибающий момент имеет постоянное значение (чистый изгиб); 6 г) поперечная сила проходит через нуль, меняя знак с плюса на минус, max M M, в противоположном случае M Mmin. 2. Если на участке балки распределенная нагрузка отсутствует, то поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону. 3. Если на участке балки имеется равномерно распределенная нагрузка, то поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент – по закону квадратной параболы, обращенной выпуклостью в сторону действия нагрузки (в случае построения эпюры М со стороны растянутых волокон). 4. В сечении под сосредоточенной силой эпюра Q имеет скачок (на величину силы), эпюра М - излом в сторону действия силы. 5. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, эпюра М имеет скачок, равный значению этого момента. На эпюре Q это не отражается. При сложном нагружении балки строят эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М. Эпюрой Q(M) называется график, показывающий закон изменения поперечной силы (изгибающего момента) по длине балки. На основе анализа эпюр М и Q устанавливают опасные сечения балки. Положительные ординаты эпюры Q откладываются вверх, а отрицательные – вниз от базисной линии, проводимой параллельно продольной оси балки. Положительные ординаты эпюры М откладываются вниз, а отрицательные – вверх, т. е. эпюра М строится со стороны растянутых волокон. Построение эпюр Q и М для балок следует начинать с определения опорных реакций. Для балки с одним защемленным и другим свободным концами построение эпюр Q и М можно начинать от свободного конца, не определяя реакций в заделке. 1.2. Построение эпюр Q и М по уравнениям Балка разбивается на участки, в пределах которых функции для изгибающего момента и поперечной силы остаются постоянными (не имеют разрывов). Границами участков служат точки приложения сосредоточенных сил, пар сил и места изменения интенсивности распределенной нагрузки. На каждом участке берется произвольное сечение на расстоянии х от начала координат, и для этого сечения составляются уравнения для Q и М. По этим уравнениям строятся эпюры Q и M. Пример 1.1 Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М для заданной балки (рис. 1.4,а). Решение: 1. Определение реакций опор. Составляем уравнения равновесия: из которых получаем Реакции опор определены правильно. Балка имеет четыре участка Рис. 1.4 нагружения: СА, AD, DB, BE. 2. Построение эпюры Q. Участок СА. На участке СА 1проводим произвольное сечение 1-1 на расстоянии x1 от левого конца балки. Определяем Q как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих слева от сечения 1-1: Знак минус взят потому, что сила, действующая слева от сечения, направлена вниз. Выражение для Q не зависит от переменной x1. Эпюра Q на этом участке изобразится прямой, параллельной оси абсцисс. Участок AD. На участке проводим произвольное сечение 2-2 на расстоянии x2 от левого конца балки. Определяем Q2 как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих слева от сечения 2-2: 8 Величина Q постоянна на участке (не зависит от переменной x2). Эпюра Q на участке представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс. Участок DB. На участке проводим произвольное сечение 3-3 на расстоянии x3 от правого конца балки. Определяем Q3 как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих справа от сечения 3-3: Полученное выражение есть уравнение наклонной прямой линии. Участок BE. На участке проводим сечение 4-4 на расстоянии x4 от правого конца балки. Определяем Q как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих справа от сечения 4-4: 4 Здесь знак плюс взят потому, что равнодействующая нагрузка справа от сечения 4-4 направлена вниз. По полученным значениям строим эпюры Q (рис. 1.4, б). 3. Построение эпюры М. Участок м1. Определяем изгибающий момент в сечении 1-1 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих слева от сечения 1-1. – уравнение прямой. Участок A 3Определяем изгибающий момент в сечении 2-2 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих слева от сечения 2-2. – уравнение прямой. Участок DB 4Определяем изгибающий момент в сечении 3-3 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих справа от сечения 3-3. – уравнение квадратной параболы. 9 Находим три значения на концах участка и в точке с координатой xk , где Участок BE 1Определяем изгибающий момент в сечении 4-4 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих справа от сечения 4-4. – уравнение квадратной параболы находим три значения M4: По полученным значениям строим эпюру М (рис. 1.4, в). На участках CA и AD эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс, а на участках DB и BE – наклонными прямыми. В сечениях C, A и B на эпюре Q имеют место скачки на величину соответствующих сил, что служит проверкой правильности построения эпюры Q. На участках, где Q 0, моменты возрастают слева направо. На участках, гдеQ 0, моменты убывают. Под сосредоточенными силами имеются изломы в сторону действия сил. Под сосредоточенным моментом имеет место скачок на величину момента. Это указывает на правильность построения эпюры М. Пример 1.2 Построить эпюры Q и М для балки на двух опорах, нагруженной распределенной нагрузкой, интенсивность которой меняется по линейному закону (рис. 1.5, а). Решение Определение реакций опор. Равнодействующая распределенной нагрузки равна площади треугольника, представляющего собой эпюру нагрузки и приложена в центре тяжести этого треугольника. Составляем суммы моментов всех сил относительно точек А и В: Построение эпюры Q. Проведем произвольное сечение на расстоянии x от левой опоры. Ордината эпюры нагрузки, соответствующая сечению, определяется из подобия треугольников Равнодействующая той части нагрузки, которая распложена слева от сечения Поперечная сила в сечении равна Поперечная сила изменяется по закону квадратной параболы Приравнивая уравнение поперечной силы нулю, находим абсциссу того сечения, в котором эпюра Q переходит через нуль: Эпюра Q представлена на рис. 1.5, б. Изгибающий момент в произвольном сечении равен Изгибающий момент изменяется по закону кубической параболы: Максимальное значение изгибающий момент имеет в сечении, где 0, т. е. при Эпюра М представлена на рис. 1.5, в. 1.3. Построение эпюр Q и M по характерным сечениям (точкам) Используя дифференциальные зависимости между М, Q, q и выводы, вытекающие из них, целесообразно строить эпюры Q и М по характерным сечениям (без составления уравнений). Применяя этот способ, вычисляют значения Q и М в характерных сечениях. Характерными сечениями являются граничные сечения участков, а также сечения, где данный внутренний силовой фактор имеет экстремальное значение. В пределах между характерными сечениями очертание 12 эпюры устанавливается на основе дифференциальных зависимостей между М, Q, q и выводами, вытекающими из них. Пример 1.3 Построить эпюры Q и М для балки, изображенной на рис. 1.6, а. Рис. 1.6. Решение: Построение эпюр Q и М начинаем от свободного конца балки, при этом реакции в заделке можно не определять. Балка имеет три участка нагружения: АВ, ВС, CD. На участках АВ и ВС распределенная нагрузка отсутствует. Поперечные силы постоянны. Эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс. Изгибающие моменты изменяются по линейному закону. Эпюра М ограничена прямыми, наклонными к оси абсцисс. На участке CD имеется равномерно распределенная нагрузка. Поперечные силы изменяются по линейному закону, а изгибающие моменты – по закону квадратной параболы с выпуклостью в сторону действия распределенной нагрузки. На границе участков АВ и ВС поперечная сила изменяется скачкообразно. На границе участков ВС и CD скачкообразно изменяется изгибающий момент. 1. Построение эпюры Q. Вычисляем значения поперечных сил Q в граничных сечениях участков: По результатам расчетов строим эпюру Q для балки (рис. 1, б). Из эпюры Q следует, что поперечная сила на участке CD равна нулю в сечении, отстоящем на расстоянии qa a q от начала этого участка. В этом сечении изгибающий момент имеет максимальное значение. 2. Построение эпюры М. Вычисляем значения изгибающих моментов в граничных сечениях участков: При мaаксимальный момент на участке По результатам расчетов строим эпюру М (рис. 5.6, в). Пример 1.4 По заданной эпюре изгибающих моментов (рис. 1.7, а) для балки (рис. 1.7, б) определить действующие нагрузки и построить эпюру Q. Кружком обозначена вершина квадратной параболы. Решение: Определим нагрузки, действующие на балку. Участок АС загружен равномерно распределённой нагрузкой, так как эпюра М на этом участке – квадратная парабола. В опорном сечении В к балке приложен сосредоточенный момент, действующий по часовой стрелке, так как на эпюре М имеем скачок вверх на величину момента. На участке СВ балка не нагружена, т. к. эпюра М на этом участке ограничена наклонной прямой. Реакция опоры В определяется из условия, что изгибающий момент в сечении С равен нулю, т. е. Для определения интенсивности распределенной нагрузки составим выражение для изгибающего момента в сечении А как сумму моментов сил справа и приравняем к нулю Теперь определим реакцию опоры А. Для этого составим выражение для изгибающих моментов в сечении как сумму моментов сил слева Расчетная схема балки с нагрузкой показана на рис. 1.7, в. Начиная с левого конца балки, вычисляем значения поперечных сил в граничных сечениях участков: Эпюра Q представлена на рис. 1.7, г. Рассмотренная задача может быть решена путем составления функциональных зависимостей для М, Q на каждом участке. Выберем начало координат на левом конце балки. На участке АС эпюра М выражается квадратной параболой, уравнение которой имеет вид Постоянные а, b, с находим из условия, что парабола проходит через три точки с известными координатами: Подставляя координаты точек в уравнение параболы, получим: Выражение для изгибающего момента будет Дифференцируя функцию М1, получим зависимость для поперечной cилы После дифференцирования функции Q получим выражение для интенсивности распределённой нагрузки На участке СВ выражение для изгибающего момента представляется в виде линейной функции Для определения постоянных а и b используем условия, что данная прямая проходит через две точки, координаты которых известны Получим два уравнения: ,b из которых имеем a 20. Уравнение для изгибающего момента на участке СВ будет После двукратного дифференцирования М2 найдём По найденным значениям М и Q строим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для балки. Помимо распределённой нагрузки к балке прикладываются сосредоточенные силы в трех сечениях, где на эпюре Q имеются скачки и сосредоточенные моменты в том сечении, где на эпюре М имеется скачок. Пример 1.5 Для балки (рис. 1.8, а) определить рациональное положение шарнира С, при котором наибольший изгибающий момент в пролете равен изгибающему моменту в заделке (по абсолютной величине). Построить эпюры Q и М. Решение Определение реакций опор. Несмотря на то, что общее число опорных связей равно четырем, балка статически определима. Изгибающий момент в шарнире С равен нулю, что позволяет составить дополнительное уравнение: сумма моментов относительно шарнира всех внешних сил, действующих по одну сторону от этого шарнира, равна нулю. Составим сумму моментов всех сил справа от шарнира С. Эпюра Q для балки ограничена наклонной прямой, так как q = const. Определяем значения поперечных сил в граничных сечениях балки: Абсцисса xK сечения, где Q = 0, определяется из уравнения откуда Эпюра М для балки ограничена квадратной параболой. Выражения для изгибающих моментов в сечениях, где Q = 0, и в заделке записываются соответственно так: Из условия равенства моментов получаем квадратное уравнение относительно искомого параметра х: Реальное значение x2x 1,029 м. Определяем численные значения поперечных сил и изгибающих моментов в характерных сечениях балки На рис.1.8, б показана эпюра Q, а на рис. 1.8, в – эпюра М. Рассмотренную задачу можно было решить способом расчленения шарнирной балки на составляющие ее элементы, как это показано на рис. 1.8, г. В начале определяются реакции опор VC и VB . Строятся эпюры Q и М для подвесной балки СВ от действия приложенной к ней нагрузки. Затем переходят к основной балке АС, нагрузив ее дополнительной силой VC , являющейся силой давления балки СВ на балку АС. После чего строят эпюры Q и М для балки АС. 1.4. Расчеты на прочность при прямом изгибе балок Расчет на прочность по нормальным и касательным напряжениям. При прямом изгибе балки в поперечных сечениях ее возникают нормальные и касательные напряжения (рис. 1.9). 18 Рис. 1.9 Нормальные напряжения связаны с изгибающим моментом, касательные напряжения связаны с поперечной силой. При прямом чистом изгибе касательные напряжения равны нулю. Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки определяются по формуле (1.4) где M – изгибающий момент в данном сечении; Iz – момент инерции сечения относительно нейтральной оси z; y – расстояние от точки, где определяется нормальное напряжение, до нейтральной оси z. Нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону и достигают наибольшей величины в точках, наиболее удалённых от нейтральной оси Если сечение симметрично относительно нейтральной оси (рис. 1.11), то Рис. 1.11 наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения одинаковы и определяются по формуле, – осевой момент сопротивления сечения при изгибе. Для прямоугольного сечения шириной b высотой h: (1.7) Для круглого сечения диаметра d: (1.8) Для кольцевого сечения – соответственно внутренний и наружный диаметры кольца. Для балок из пластичных материалов наиболее рациональными являются симметричные 20 формы сечений (двутавровое, коробчатое, кольцевое). Для балок из хрупких материалов, не одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, рациональными являются сечения, несимметричные относительно нейтральной оси z (тавр., П-образное, несимметричный двутавр). Для балок постоянного сечения из пластичных материалов при симметричных формах сечений условие прочности записывается так: (1.10) где Mmax – максимальный изгибающий момент по модулю; – допускаемое напряжение для материала. Для балок постоянного сечения из пластичных материалов при несимметричных формах сечений условие прочности записывается в следующем виде: (1.11) Для балок из хрупких материалов с сечениями, несимметричными относительно нейтральной оси, в случае, если эпюра М однозначна (рис. 1.12), нужно записать два условия прочности – расстояния от нейтральной оси до наиболее удалённых точек соответственно растянутой и сжатой зон опасного сечения; P – допускаемые напряжения соответственно на растяжение и сжатие. Рис.1.12. 21 Если эпюра изгибающих моментов имеет участки разных знаков (рис. 1.13), то помимо проверки сечения 1-1, где действуетMmax, необходимо произвести расчет по наибольшим растягивающим напряжениям для сечения 2-2 (с наибольшим моментом противоположного знака). Рис. 1.13 Наряду с основным расчетом по нормальным напряжениям в ряде случаев приходится делать проверку прочности балки по касательным напряжениям. Касательные напряжения в балки вычисляются по формуле Д. И. Журавского (1.13) где Q – поперечная сила в рассматриваемом поперечном сечении балки; Szотс – статический момент относительно нейтральной оси площади части сечения, расположенной по одну сторону прямой, проведенной через данную точку и параллельной оси z; b – ширина сечения на уровне рассматриваемой точки; Iz – момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси z. Во многих случаях максимальные касательные напряжения возникают на уровне нейтрального слоя балки (прямоугольник, двутавр, круг). В таких случаях условие прочности по касательным напряжениям записывается в виде, (1.14) где Qmax – наибольшая по модулю поперечная сила; – допускаемое касательное напряжение для материала. Для прямоугольного сечения балки условие прочности имеет вид (1.15) А – площадь поперечного сечения балки. Для круглого сечения условие прочности представляется в виде (1.16) Для двутаврового сечения условие прочности записывается так: (1.17) где Szо,тmсax – статический момент полусечения относительно нейтральной оси; d – толщина стенки двутавра. Обычно размеры поперечного сечения балки определяются из условия прочности по нормальным напряжениям. Проверка прочности балок по касательным напряжениям производится в обязательном порядке для коротких балок и балок любой длинны, если вблизи опор имеются сосредоточенные силы большой величины, а также для деревянных, клёпанных и сварных балок. Пример 1.6 Проверить прочность балки коробчатого сечения (рис. 1.14) по нормальным и касательным напряжениям, если МПа. Построить эпюры в опасном сечении балки. Рис. 1.14 Решение 23 1. Построение эпюр Q и М по характерным сечениям. Рассматривая левую часть балки, получим Эпюра поперечных сил представлена на рис. 1.14,в. Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 5.14, г. 2. Геометрические характеристики поперечного сечения 3. Наибольшие нормальные напряжения в сечение С, где действует Mmax (по модулю): МПа. Максимальные нормальные напряжения в балке практически равны допускаемым. 4. Наибольшие касательные напряжения в сечении С (или А), где действует max Q (по модулю): Здесь – статический момент площади полусечения относительно нейтральной оси; b2 см – ширина сечения на уровне нейтральной оси. 5. Касательные напряжения в точке (в стенке) в сечении С: Рис. 1.15 Здесь Szomc 834,5 108 см3 – статический момент площади части сечения, расположенной выше линии, проходящей через точку K1; b2 см – толщина стенки на уровне точки K1. Эпюры и для сечения С балки показаны рис. 1.15. Пример 1.7 Для балки, показанной на рис. 1.16, а, требуется: 1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по характерным сечениям (точкам). 2. Определить размеры поперечного сечения в виде круга, прямоугольника и двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям, сравнить площади сечений. 3. Проверить подобранные размеры сечений балок по касательным напряжения. Дано: Решение: 1. Определяем реакции опор балки Проверка: 2. Построение эпюр Q и М. Значения поперечных сил в характерных сечениях балки 25 Рис. 1.16 На участках CA и AD интенсивность нагрузки q = const. Следовательно, на этих участках эпюра Q ограничивается прямыми, наклонными к оси. На участке DB интенсивность распределенной нагрузки q = 0, следовательно, на этом участке эпюра Q ограничивается прямой, параллельной оси х. Эпюра Q для балки показана на рис. 1.16,б. Значения изгибающих моментов в характерных сечениях балки: На втором участке определяем абсциссу x2 сечения, в котором Q = 0: Максимальный момент на втором участке Эпюра М для балки показана на рис. 1.16, в. 2. Составляем условие прочности по нормальным напряжениям откуда определяем требуемый осевой момент сопротивления сечения из выражения определяемый требуемый диаметр d балки круглого сечения Площадь круглого сечения Для балки прямоугольного сечения Требуемая высота сечения Площадь прямоугольного сечения Определяем требуемый номер двутавровой балки. По таблицам ГОСТ 8239-89 находим ближайшее большее значение осевого момента сопротивления 597см3, которое соответствует двутавру № 33 с характеристиками: A z 9840 см4. Проверка на допуск: (недогрузка на 1 % от допустимого 5 %) ближайший двутавр № 30 (W 2 см3) приводит к значительной перегрузке (более 5%). Окончательно принимаем двутавр № 33. Сравниваем площади круглого и прямоугольного сечений с наименьшей площадью А двутавра: Из трех рассмотренных сечений наиболее экономичным является двутавровое сечение. 3. Вычисляем наибольшие нормальные напряжения в опасном сечении 27 двутавровой балки (рис. 1.17, а): Нормальные напряжения в стенке около полки двутаврового сечения балки Эпюра нормальных напряжений в опасном сечении балки показана на рис. 1.17, б. 5. Определяем наибольшие касательные напряжения для подобранных сечений балки. а) прямоугольное сечение балки: б) круглое сечение балки: в) двутавровое сечение балки: Касательные напряжения в стенке около полки двутавра в опасном сечении А (справа) (в точке 2): Эпюра касательных напряжений в опасных сечениях двутавра показана на рис. 1.17,в. Максимальные касательные напряжения в балке не превышают допускаемых напряжений Пример 1.8 Определить допускаемую нагрузку на балку (рис. 1.18, а), если60МПа, размеры поперечного сечения заданы (рис. 1.19, а). Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении балки при допускаемой нагрузке. Рис 1.18 1. Определение реакций опор балки. Ввиду симметрии системы 2. Построение эпюр Q и M по характерным сечениям. Поперечные силы в характерных сечениях балки: Эпюра Q для балки показана на рис. 5.18, б. Изгибающие моменты в характерных сечениях балки Для второй половины балки ординаты М – по осям симметрии. Эпюра М для балки показана на рис. 1.18, б. 3.Геометрические характеристики сечения (рис. 1.19). Разбиваем фигуру на два простейших элемента: двутавр – 1 и прямоугольник – 2. Рис. 1.19 По сортаменту для двутавра № 20 имеем Для прямоугольника: Статический момент площади сечения относительно оси z1 Расстояние от оси z1 до центра тяжести сечения Момент инерции сечения относительно главной центральной оси z всего сечения по формулам перехода к параллельным осям 4. Условие прочности по нормальным напряжениям для опасной точки «а» (рис. 1.19) в опасном сечении I (рис. 1.18): После подстановки числовых данных 5. При допускаемой нагрузке в опасном сечении нормальные напряжения в точках «а» и «b» будут равны: Эпюра нормальных напряжений для опасного сечения 1-1 показана на рис. 1.19, б.
Расчет балки на изгиб «вручную», по-дедовски, позволяет познать один из важнейших, красивейших, четко математически выверенных алгоритмов науки сопротивление материалов. Использование многочисленных программ типа «ввел исходные данные...
...– получи ответ» позволяет современному инженеру сегодня работать гораздо быстрее, чем его предшественникам сто, пятьдесят и даже двадцать лет назад. Однако при таком современном подходе инженер вынужден полностью доверять авторам программы и со временем перестает «ощущать физический смысл» расчетов. Но авторы программы – это люди, а людям свойственно ошибаться. Если бы это было не так, то не было бы многочисленных патчей, релизов, «заплаток» практически к любому программному обеспечению. Поэтому, мне кажется, любой инженер должен уметь иногда «вручную» проверить результаты расчетов.
Справка (шпаргалка, памятка) для расчётов балок на изгиб представлена ниже на рисунке.
Давайте на простом житейском примере попробуем ей воспользоваться. Допустим, я решил сделать в квартире турник. Определено место – коридор шириной один метр двадцать сантиметров. На противоположных стенах на необходимой высоте напротив друг друга надежно закрепляю кронштейны, к которым будет крепиться балка-перекладина – пруток из стали Ст3 с наружным диаметром тридцать два миллиметра. Выдержит ли эта балка мой вес плюс дополнительные динамические нагрузки, которые возникнут при выполнении упражнений?
Чертим схему для расчета балки на изгиб. Очевидно, что наиболее опасной будет схема приложения внешней нагрузки, когда я начну подтягиваться, зацепившись одной рукой за середину перекладины.
Исходные данные:
F1 = 900 н – сила, действующая на балку (мой вес) без учета динамики
d = 32 мм – наружный диаметр прутка, из которого сделана балка
E = 206000 н/мм^2 — модуль упругости материала балки стали Ст3
[σи] = 250 н/мм^2 — допустимые напряжения изгиба (предел текучести) для материала балки стали Ст3
Граничные условия:
Мx (0) = 0 н*м – момент в точке z = 0 м (первая опора)
Мx (1,2) = 0 н*м– момент в точке z = 1,2 м (вторая опора)
V (0) = 0 мм – прогиб в точке z = 0 м (первая опора)
V (1,2) = 0 мм – прогиб в точке z = 1,2 м (вторая опора)
Расчет:
1. Для начала вычислим момент инерции Ix и момент сопротивления Wx сечения балки. Они нам пригодятся в дальнейших расчетах. Для кругового сечения (каковым является сечение прутка):
Ix = (π*d^4)/64 = (3.14*(32/10)^4)/64 = 5,147 см^4
Wx = (π*d^3)/32 = ((3.14*(32/10)^3)/32) = 3,217 см^3
2. Составляем уравнения равновесия для вычисления реакций опор R1 и R2:
Qy = -R1+F1-R2 = 0
Мx (0) = F1*(0-b2) -R2*(0-b3) = 0
Из второго уравнения: R2 = F1*b2/b3 = 900*0.6/1.2 = 450 н
Из первого уравнения: R1 = F1-R2 = 900-450 = 450 н
3. Найдем угол поворота балки в первой опоре при z = 0 из уравнения прогиба для второго участка:
V (1.2) = V (0)+U (0)*1.2+(-R1*((1.2-b1)^3)/6+F1*((1.2-b2)^3)/6)/
U (0) = (R1*((1.2-b1)^3)/6 -F1*((1.2-b2)^3)/6)/(E*Ix)/1,2 =
= (450*((1.2-0)^3)/6 -900*((1.2-0.6)^3)/6)/
/(206000*5,147/100)/1,2 = 0,00764 рад = 0,44˚
4.
Составляем уравнения для построения эпюр для первого участка (0 Поперечная сила: Qy (z) = -R1 Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1) Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2)/(E*Ix) Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6)/(E*Ix) z = 0 м:
Qy (0) = -R1 = -450 н Ux (0) = U (0) = 0,00764 рад Vy (0) = V (0) = 0 мм z = 0,6 м:
Qy (0,6) = -R1 = -450 н Мx (0,6) = -R1*(0,6-b1) = -450*(0,6-0) = -270 н*м Ux (0,6) = U (0)+(-R1*((0,6-b1)^2)/2)/(E*Ix) = 0,00764+(-450*((0,6-0)^2)/2)/(206000*5,147/100) = 0 рад Vy (0,6) = V (0)+U (0)*0,6+(-R1*((0,6-b1)^3)/6)/(E*Ix) = 0+0,00764*0,6+(-450*((0,6-0)^3)/6)/ (206000*5,147/100) = 0,003 м Балка прогнется по центру на 3 мм под тяжестью моего тела. Думаю, это приемлемый прогиб. 5.
Пишем уравнения эпюр для второго участка (b2 Поперечная сила: Qy (z) = -R1+F1 Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1)+F1*(z-b2) Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2+F1*((z-b2)^2)/2)/(E*Ix) Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6+F1*((z-b2)^3)/6)/(E*Ix) z = 1,2 м:
Qy (1,2) = -R1+F1 = -450+900 = 450 н Мx (1,2) = 0 н*м Ux (1,2) = U (0)+(-R1*((1,2-b1)^2)/2+F1*((1,2-b2)^2)/2)/(E*Ix) = 0,00764+(-450*((1,2-0)^2)/2+900*((1,2-0,6)^2)/2)/ /(206000*5,147/100) = -0.00764 рад Vy (1,2) = V (1,2) = 0 м 6.
Строим эпюры, используя данные полученные выше. 7.
Рассчитываем напряжения изгиба в наиболее нагруженном сечении – посередине балки и сравниваем с допустимыми напряжениями: σи = Mx max/Wx = (270*1000)/(3,217*1000) = 84 н/мм^2 σи = 84 н/мм^2 < [σи] = 250 н/мм^2 По прочности на изгиб расчет показал трехкратный запас прочности – турник можно смело делать из имеющегося прутка диаметром тридцать два миллиметра и длиной тысяча двести миллиметров. Таким образом, вы теперь легко можете произвести расчет балки на изгиб «вручную» и сравнить с результатами, полученными при расчете по любой из многочисленных программ, представленных в Сети. Прошу УВАЖАЮЩИХ
труд автора ПОДПИСАТЬСЯ
на анонсы статей.
86 комментариев на «Расчет балки на изгиб — «вручную»!»
1.1. Основные зависимости теории изгиба балок
Балками
принято называть стержни, работающие на изгиб под действием
поперечной (нормальной к оси стержня) нагрузки. Балки – наиболее
распространенные элементы судовых конструкций. Ось балки – геометрическое
место центров тяжести ее поперечных сечений в недеформированном состоянии.
Балка называется прямой, если осью является прямая линия. Геометрическое
место центров тяжести поперечных сечений балки в изогнутом состоянии
называется упругой линией балки. Принято следующее направление осей
координат: ось OX
совмещена
с осью балки, а оси OY
и OZ
– с
главными центральными осями инерции поперечного сечения (рис. 1.1). Теория изгиба балок основывается на следующих
допущениях. 1. Принимается гипотеза плоских сечений, согласно
которой поперечные сечения балки, первоначально плоские и нормальные к оси
балки, остаются после ее изгиба плоскими и нормальными к упругой линии балки.
Благодаря этому деформацию изгиба балки можно рассматривать независимо от
деформации сдвига, которая вызывает искажение плоскостей поперечных сечений
балки и их поворот относительно упругой линии (рис. 1.2, а
). 2. Нормальными напряжениями в площадках,
параллельных оси балки, пренебрегают из-заих малости (рис. 1.2, б
). 3. Балки считаются достаточно жесткими, т.е.
прогибы их малы по сравнению с высотой балок, а углы поворота сечений малы по
сравнению с единицей (рис.1.2, в
). 4. Напряжения и деформации связаны линейной
зависимостью, т.е. справедлив закон Гука (рис. 1.2, г
). Рис. 1.2.
Допущения теории изгиба балок Будем рассматривать появляющиеся при изгибе балки в ее сечении изгибающие
моменты и перерезывающие силы как результат действия мысленно отбрасываемой
по сечению части балки на оставшуюся ее часть. Момент всех действующих в сечении усилий относительно однойиз
главных осей называется изгибающим моментом. Изгибающий момент равен сумме
моментов всех сил (включая опорные реакции и моменты), действующих на
отброшенную часть балки, относительно указанной оси рассматриваемого сечения. Проекция на плоскость сечения
главного вектора усилий, действующих в сечении, называется перерезывающей
силой. Она равна сумме проекций наплоскость сечения всех сил (включая опорные реакции), действующих на
отброшенную часть балки
. Ограничимся рассмотрением изгиба балки, происходящего в плоскости XOZ
.
Такой
изгиб будет иметь место в случае, когда поперечная нагрузка действует в
плоскости, параллельной плоскости XOZ
, а ее
равнодействующая в каждом сечении проходит через точку, называемую центром
изгиба сечения. Заметим, что для сечений балок,имеющих две осисимметрии, центр изгиба совпадает с центром
тяжести, а для сечений, имеющих одну ось симметрии, он лежит на осисимметрии, но не совпадает с центром
тяжести. Нагрузка входящих в состав судового корпуса балок может быть либо
распределенной (чаще всего равномерно распределенной вдоль оси балки, или
изменяющейся по линейному закону), либо приложенной в виде сосредоточенных
сил и моментов. Обозначим интенсивность распределенной нагрузки
(нагрузку, приходящуюся на единицу длины оси балки) через q
(x
), внешнюю сосредоточенную силу –
как Р
, а
внешний изгибающий момент – как М
.
Распределенная нагрузка и сосредоточенная сила положительны, если направления
их действия совпадают с положительным направлением оси OZ
(рис. 1.3,а
,б
). Внешний изгибающий момент положителен, если он направлен по
часовой стрелке (рис.1.3,в
). Рис. 1.3. Правило знаков для внешних
нагрузок Обозначим прогиб прямой балки при ее изгибе в плоскости XOZ
через w
, а угол поворота
сечения – через θ.
Примем правило знаков для
элементов изгиба (рис. 1.4): 1) прогиб положителен, если он совпадает с положительным направлением
оси OZ
(рис. 1.4, а
): 2) угол поворота сечения положителен, если в результате изгиба сечение
поворачивается по часовой стрелке (рис. 1.4, б
); 3) изгибающие моменты положительны, если балка под их воздействием
изгибается выпуклостью вверх (рис. 1.4, в
); 4) перерезывающие силы положительны, если они поворачивают выделенный
элемент балки против часовой стрелки (рис. 1.4, г
). Рис. 1.4.
Правило знаков для элементов изгиба На основании гипотезы плоских сечений можно видеть
(рис. 1.5), что относительное удлинение волокна ε
x
, отстоящего на z
от
нейтральной оси, будет равно ε
x
= −z
/ρ
,(1.1) где ρ
– радиус кривизны балки в
рассматриваемом сечении. Рис. 1.5. Схема изгиба балки Нейтральной осью поперечного сечения называется геометрическое место
точек, для которых линейная деформация при изгибе равна нулю. Между кривизной
и производными от w
(x
)
существует зависимость В силу принятого допущения о
малости углов поворота для достаточно жестких балок величина
мала по сравнению с единицей
, поэтому можно считать, что Подставив 1/ρ
из (1.2) в (1.1), получим Нормальные напряжения от изгиба σ
x
на основании закона Гука
будут равны Поскольку из определения балок следует, что
продольное усилие, направленное вдоль оси балки, отсутствует, главный вектор
нормальных напряжений должен обращаться в нуль, т.е. где F
– площадь поперечного сечения
балки. Из (1.5) получим, что статический момент площади сечения балки равен
нулю. Это значит, что нейтральная ось сечения проходит через его центр тяжести. Момент внутренних усилий, действующих в поперечном сечении относительно
нейтральной оси, M y
будет Если учесть, что момент инерции площади сечения относительно
нейтральной оси OY
равен ,
и подставить это значение в (1.6), то получим зависимость, которая выражает
основное дифференциальное уравнение изгиба балки Момент внутреннихусилий в
сечении относительно оси OZ
будет Поскольку оси OY
и OZ
по условию являются главными
центральными осями сечения, то Отсюда следует, что при действии нагрузки в
плоскости, параллельной главной плоскости изгиба, упругая линия балки будет
плоской кривой. Такой изгиб называется плоским
.
На основании зависимостей (1.4) и (1.7) получим Формула (1.8) показывает, что нормальные напряжения при изгибе балок
пропорциональны отстоянию
от нейтральной оси балки.
Естественно, что это вытекаетиз
гипотезы плоских сечений. В практических расчетах для определения наибольших
нормальных напряжений часто используют момент сопротивления сечения балки где |z
| max
–
абсолютное значение отстояния
наиболее удаленного
волокна от нейтральной оси.
В дальнейшем нижние индексы y
для
упрощения опущены. Между изгибающим моментом, перерезывающей силой и интенсивностью
поперечной нагрузки существует связь, вытекающая из условия равновесия
элемента, мысленно выделенного из балки. Рассмотрим элемент балки длиной dx
(рис. 1.6). Здесь принимается, что деформации элемента пренебрежимо
малы. Если в левом сечении элемента действует момент M
и перерезывающая сила N
, то в правом его
сечении соответствующие усилия будут иметь приращения. Рассмотрим только
линейные приращения Рис.1.6.
Усилия, действующие на элемент балки Приравняв нулю проекцию на ось OZ
всех усилий,
действующих на элемент, и момент всех усилий относительно нейтральной оси
правого сечения, получим: Из этих
уравнений с точностью до величин высшего порядка малости получим Из (1.11) и (1.12) следует, что Зависимости (1.11)–(1.13) известны под названием теоремы Журавского–Шведлера
.Из этих зависимостей следует, что
перерезывающая сила и изгибающий момент могут быть определены путем интегрирования
нагрузки q
: где
N
0
и
M
0
– перерезывающая сила и изгибающий момент в сечении, соответствующем
x
=
x
0
, которое
принимается за начало отсчета; ξ,
ξ 1 – переменные интегрирования
. Постоянные N
0
и M
0
для статически определимых балок
могут быть определены из условий их статического равновесия. Если балка статически определимая, изгибающий момент влюбом
сечении может быть найден по (1.14), и упругая линия определяется путем
двукратного интегрирования дифференциального уравнения (1.7). Однако в
конструкциях судового корпуса статически определимые балки встречаются крайне
редко. Большинство балок, входящих в состав судовых конструкций, образует
многократно статически неопределимые системы. В этих случаях для определения
упругой линии уравнение (1.7) является неудобным, и целесообразно перейти к
уравнению четвертого порядка. 1.2.
Дифференциальное уравнение изгиба балок
Дифференцируя уравнение (1.7) для общего случая, когда
момент инерции сечения является функцией от x
, с
учетом (1.11) и (1.12) получим: где штрихами обозначено дифференцирование по x
. Для призматических балок, т.е. балок постоянного
сечения, получим следующие дифференциальные уравнения изгиба: Обыкновенное неоднородное линейное дифференциальное
уравнение четвертого порядка (1.18) можно представить в виде совокупности
четырех дифференциальных уравнений первого порядка: Используем далееу
равнение (1.18) или систему уравнений (1.19) для определения прогиба
балки (ее упругой линии) и всех неизвестных элементов изгиба: w
(x
), θ
(x
), M
(x
), N
(x
). Интегрируя
(1.18) последовательно 4 раза (считая, чтолевому концу балки
соответствует сечение
x
=
x a
),
получим:
Нетрудно видеть, что постоянные интегрирования N a
,
M a
,
θ a
,
w a
имеют
определенный физический смысл, а именно: N a
– перерезывающая сила в начале отсчета, т.е. при x
=
x a
; M a
– изгибающий момент в начале отсчета; θ a
– угол поворота в начале отсчета; w a
– прогиб в этом же сечении. Для определения указанных постоянных всегда можно составить четыре
граничных условия – по два для каждого конца однопролетной балки.
Естественно, что граничные условия зависят от устройства концов балки.
Простейшие условия соответствуют шарнирному
опиранию
на жесткие опоры или жесткой заделке. При
шарнирном опирании
конца балки на жесткой опоре (рис. 1.7, а
) прогиб балки и изгибающий момент равны нулю: При жесткой заделке на жесткой опоре (рис. 1.7, б
) равны нулю прогиб и угол поворота
сечения: Если конец балки (консоль) свободен (рис. 1.7, в
), то в этом сечении равны нулю
изгибающий момент и перерезывающая сила: Возможна ситуация, связанная со скользящей заделкой
или заделкой по симметрии (рис. 1.7, г
). Это приводит к таким граничным условиям: Заметим, что граничные условия (1.26), касающиеся
прогибов и углов поворота, принято называть кинематическими
, а условия (1.27) – силовыми
. Рис. 1.7.
Виды граничных условий В судовых конструкциях часто приходится иметь дело с более сложными
граничными условиями, которые соответствуют опиранию
балки на упругие опоры или упругой заделке концов. Упругой опорой (рис. 1.8, а
)
называется опора,имеющая просадку, пропорциональную действующей на
опору реакции. Будем считать реакцию упругой опоры R
положительной, если она действует на опору в сторону положительного
направления оси OZ
. Тогда можно записать: w
=
AR
,(1.29) где A
– коэффициент пропорциональности,
называемый коэффициентом податливости упругой опоры. Этот коэффициент равен просадке упругой опоры при действии реакции R
=
1, т.е. A
=
w R
=
1 . Упругими опорами в судовых конструкциях могут быть балки,
подкрепляющиерассматриваемую балку,
или пиллерсы и другие конструкции, работающие на сжатие. Для определения коэффициента податливости упругой опоры A
необходимо загрузить
соответствующую конструкцию единичной силой и найти абсолютную величину
просадки (прогиб) в месте приложения силы. Жесткая опора – частный случай
упругой опоры при A
=
0. Упругой заделкой (рис. 1.8, б
) называется такая опорная конструкция, которая препятствует свободному
повороту сечения и в которой угол поворота θ
в
этом сечении пропорционален моменту, т.е. имеетместо зависимость θ
=Â
M
.(1.30) Множитель пропорциональности Â
называется коэффициентом податливости упругой заделки и может быть определен,
как угол поворота упругой заделки при M
=
1, т.е. Â
=
θ
M
=
1 . Частным случаем упругой заделки при Â
=
0 является
жесткая заделка. В судовых конструкциях упругими заделками
обычно являются балки, нормальные к рассматриваемой и лежащие в этой же
плоскости.
Например, упруго заделанными на шпангоутах можно считать
бимсы и т.п. Рис. 1.8. Упругая опора (а
) и упругая заделка (б
) Если концы балки длиной L
оперты на упругие опоры (рис. 1.9), то реакции опор в
концевых сечениях равны перерезывающим силам, и граничные условия можно
записать: Знак минус в первом условии (1.31) принят потому, что
положительная перерезывающая сила в левом опорном сечении соответствует
реакции, действующей на балку сверху вниз, а на опору – снизу вверх. Если концы балки длиной L
упругозаделанные
(рис. 1.9), то для опорных сечений,
учитывая правило знаков для углов поворота и изгибающих моментов, можно
записать: Знак минус во втором условии (1.32) принят потому,
что при положительном моменте в правом опорном сечении балки момент,
действующий на упругую заделку, направлен против
часовой
стрелки, а положительный угол поворота в этом
сечении направлен по часовой стрелке, т.е. направления момента и угла
поворота не совпадают. Рассмотрение дифференциального уравнения (1.18) и всех граничных
условий показывает, что они линейны относительно как входящих в них прогибов
и их производных, так и действующих на балку нагрузок. Линейность является
следствием допущений о справедливости закона Гука и малости прогибов балки. Рис. 1.9.
Балка, оба конца которой упруго оперты и упруго заделаны (а
); усилия
в упругих опорах и упругих заделках, соответствующие положительным При действии на балку нескольких нагрузок каждый
элемент изгиба балки (прогиб, угол поворота, момент и перерезывающая сила)
представляет собой сумму элементов изгиба от действия каждой из нагрузок в
отдельности. Это очень важное положение, называемое принципом наложения, или
принципом суммирования действия нагрузок, широко используется в практических
расчетах и, в частности, для раскрытия статической неопределимости балок. 1.3. Метод
начальных параметров
Общий интеграл дифференциального уравнения изгиба балки может быть
использован для определения упругой линии однопролетной балки в том случае,
когда нагрузка балки представляет собой непрерывную функцию координаты на протяжении всего пролета. Если в составе
нагрузки встречаются сосредоточенные силы, моменты или распределенная нагрузка
действует на части длины балки (рис. 1.10), то непосредственно
использовать выражение (1.24) нельзя. В этом случае можно было бы, обозначив
упругие линии на участках 1, 2 и 3 через w
1 , w
2 , w
3 ,
выписать для каждойиз них интеграл в виде (1.24) и найти все
произвольные постоянные из граничных условий на концах балки и условий
сопряжения на границах участков. Условия сопряжения в рассматриваемом случае
выражаются так: при x=a
1
при x=a
2
при x=a
3
Нетрудно заметить, что такой путь решения задачи
приводит к большому числу произвольных постоянных, равному 4n
, где n
– число участков по
длине балки.
Рис. 1.10. Балка, на отдельных участках которой
приложены нагрузки разных типов Значительно удобнее представить упругую линию балки в виде где члены за
двойной чертой учитываются при x
³
a
1, x
³
a
2 и т.д. Очевидно, что δ 1 w
(x
)=w
2 (x
)−w
1 (x
); δ 2 w
(x
)=w
3 (x
)−w
2 (x
); и т.д. Дифференциальные уравнения для определения поправок к упругой линии δ i
w
(x
) на основании (1.18)
и (1.32) можно записать в виде Общий интеграл для любой поправки δ i
w
(x
) к упругой линии может быть записан в виде (1.24) при x a
=
a i
. При этом параметры N a
,
M a
,
θ a
,
w a
имеют смысл
изменения (скачка) соответственно: в перерезывающей силе, изгибающем моменте,
угле поворота и стрелке прогиба при переходе через сечение x
=
a i
.
Такой прием называется методом начальных параметров. Можно показать, чтодля
балки, приведенной на рис. 1.10, уравнение упругой линии будет Таким образом, метод начальных параметров дает возможность и при
наличии разрывности в нагрузках записать уравнение упругой линии в виде,
содержащем лишь четыре произвольных постоянных N
0 ,
M
0 ,
θ
0 ,
w
0 , которые
определяются из граничных условий по концам балки. Заметим, что для большого числа вариантов встречающихся на практике
однопролетных балок составлены подробные таблицы изгиба, которые позволяют
легко найти прогибы, углы поворота и другие элементы изгиба. 1.4.
Определение касательных напряжений при изгибе балок
Принятая в теории изгиба балок гипотеза плоских сечений приводит к
тому, что деформация сдвига в сечении балки оказывается равной нулю, и мы неимеем возможности, используя закон Гука, определить касательные
напряжения. Однако поскольку в общем случае в сечениях балки действуют
перерезывающие силы, то должны возникать соответствующие им касательные
напряжения. Это противоречие (которое является следствием принятой гипотезы
плоских сечений) можно обойти, рассматривая условия равновесия. Будем
считать, что при изгибе балки, составленной из тонких полос, касательные
напряжения в поперечном сечении каждой из этих полос равномерно распределены
по толщине и направлены параллельно длинным сторонам ее контура. Это
положение практически подтверждается точными решениями теории упругости.
Рассмотрим балку открытого тонкостенного двутаврового профиля. На
рис. 1.11 показано положительное направление касательных напряжений в
поясках и стенке профиля при изгибе в плоскости стенки балки. Выделим
продольным сечением I
-
I
и двумя
поперечными сечениями элемент длиной dx
(рис. 1.12). Обозначим касательное напряжение в указанном продольном сечении через τ,
а нормальные усилия в начальном поперечном
сечении через T
. Нормальные усилия в конечном
сечении будут иметь приращения. Рассмотрим только линейные приращения, тогда . Рис. 1.12.
Продольные усилия и касательные напряжения Условие статического равновесия выделенногоиз балки элемента
(равенство нулю проекций усилий на ось OX
) будет где ;
f
– площадь части профиля, отсеченного линией I
–
I
; δ–
толщина профиля в месте сечения. Из (1.36) следует: Поскольку нормальные напряжения σ
x
определяются формулой (1.8), то При этом мы полагаем, что балка имеет постоянное по длине сечение.
Статический момент части профиля (отсеченной линией I
–
I
) относительно нейтральной оси сечения балки OY
является интегралом Тогда из (1.37) для абсолютной величины напряжений получим: Естественно, что полученная формула для определения касательных
напряжений справедлива и для любого продольного сечения, например II
–
II
(см. рис. 1.11), и статический
момент S
отс
вычисляется для отсеченной части площади
профиля балки относительно нейтральной оси без учета знака. Формула (1.38) по смыслу проведенного вывода определяет касательные
напряжения в продольных сечениях балки. Из теоремы о парности касательных
напряжений, известной из курса сопротивления материалов, следует, что такие
же касательные напряжения действуют в соответствующих точках поперечного
сечения балки. Естественно, что проекция главного вектора касательных
напряжений на ось OZ
должна быть равна
перерезывающей силе N
в данном
сечении балки. Поскольку в поясках балки такого типа, как показано на
рис. 1.11, касательные напряжения направлены по оси OY
, т.е.
нормально к плоскости действия нагрузки, и являются в целом уравновешенными,
перерезывающая сила должна уравновешиваться касательными напряжениями в
стенке балки. Распределение касательных напряжений по высоте стенки следует
закону изменения статического момента S
отс
отсеченной части площади относительно
нейтральной оси (при постоянной толщине стенки δ
). Рассмотрим симметричное сечение двутавровой балки с площадью пояска F
1 и площадью стенки ω
=
hδ
(рис. 1.13). Рис. 1.13.
Сечение двутавровой балки Статический момент отсеченной части площади для точки, отстоящей на z
от нейтральной оси, будет Как видно из зависимости (1.39), статическиймомент изменяется с
z
по закону квадратичной параболы.
Наибольшее значение S
отс
,
а
следовательно, и касательных напряжений τ,
получится у нейтральной оси, где z
=
0: Наибольшее касательное напряжениев стенке балки у нейтральной
оси Поскольку момент инерции сечения рассматриваемой балки равен то наибольшее касательное
напряжение будет Отношение N
/ω
есть не что иное, как среднее касательное напряжение в стенке, вычисленное в
предположенииравномерного распределения напряжений. Принимая, например,
ω
= 2F
1 , по
формуле (1.41) получим Таким образом, у рассматриваемой балки наибольшее
касательное напряжение в стенке у нейтральной оси лишь на 12,5%
превышает среднее значение
этих напряжений. Следует отметить, что у большинства профилей балок,
применяемых в судовом корпусе, превышение максимальных касательных напряжений
над средними
составляет 10–15%. Если рассмотреть распределение касательных
напряжений при изгибе в сечении балки, показанной на рис. 1.14, то можно
видеть, что они образуют момент относительно центра тяжести сечения. В общем
случае изгиб такой балки в плоскости XOZ
будет
сопровождаться закручиванием. Изгиб балки не сопровождается закручиванием, если нагрузка
будет действовать в плоскости, параллельной XOZ
,
проходящей через точку, называемую центром изгиба. Эта точка характеризуетсятем, что момент всех касательных усилий в сечении балки относительно нее
равен нулю. Рис. 1.14. Касательные напряжения
при изгибе швеллерной балки (точка А
– центр изгиба) Обозначив отстояние
центра изгиба А
от оси стенки балки через е
,
запишем условие равенства нулю моментакасательных усилий относительно точки А
: где Q
2 – касательное усилие в стенке, равное
перерезывающей силе, т.е. Q
2 =N
; Q
1 =Q
3 – усилие
в пояске, определяемое на основании (1.38) зависимостью Деформация сдвига (или угол сдвига) γ
изменяется по высоте стенки балки так же, как и
касательные напряжения τ,
достигая наибольшей величины у нейтральной оси. Как было показано, у балок с поясками изменение касательных напряжений
по высоте стенки весьма незначительно. Это позволяет в дальнейшем
рассматривать некоторый средний угол сдвига в стенке балки Деформация сдвига приводит к тому, что прямой угол между плоскостью поперечного
сечения балки и касательной к упругой линии изменяется на величину γ ср
.
Упрощенная
схема деформации сдвига элемента балки показана на рис. 1.15. Рис. 1.15. Схема деформации сдвига элемента балки Обозначив стрелку прогиба, вызванную сдвигом через w
сдв
, можно
записать: С
учетом правила знаков для перерезывающей силы N
и угла
поворота найдем Поскольку , Интегрируя (1.47), получим Постоянная a
, входящая в (1.48), определяет
перемещение балки как твердого тела и может быть принята равной любой
величине, так как при определении суммарной стрелки прогиба от изгиба w
изг
и сдвига w
сдв
появится сумма постоянных интегрирования w
0 +a
, определяемая из граничных условий.
Здесь w
0 – прогиб от изгиба в начале координат. Положим в дальнейшем a
=0. Тогда окончательно выражение
для упругой линии, вызванной сдвигом, примет вид Изгибная и сдвиговая составляющие упругой линии
показаны на рис. 1.16. Рис. 1.16.
Изгибная (а
) и сдвиговая (б
) составляющие упругой линии балки В рассмотренном случае угол поворота сечений при сдвиге равен нулю,
поэтому и с учетом сдвига углы поворота сечений, изгибающие моменты и перерезывающие
силы связаны только с производными упругой линии от изгиба: Несколько иначе обстоит дело в случае действия на балку сосредоточенных
моментов, которые, как будет показано ниже, не вызывают прогибов от сдвига, а
приводят лишь к дополнительному повороту сечений балки. Рассмотрим свободно опертую на жесткие опоры балку, в левом сечении
которой действует момент М
. Перерезывающая сила в этом случае будет
постоянной и
равной Для правого опорного сечения
соответственно получим .(1.52) Выражения (1.51)и (1.52) можно переписать в виде Выражения в круглых скобках характеризуют относительную добавку к углу
поворота сечения, вызванную сдвигом. Если рассмотреть, например, свободно опертую балку,
загруженную посередине ее пролета силой Р
(рис. 1.18), то прогиб
балки под силой будет равен Прогиб от изгиба можно найти по
таблицам изгиба балок. Прогиб от сдвига определяется по формуле (1.50) с
учетом того, что Рис. 1.18. Схема свободно опертой балки,
загруженной сосредоточенной силой Как видно из формулы (1.55), относительная добавка
к прогибу балки за счет сдвига имеет такую же структуру, что и относительная
добавка к углу поворота, но с другим численным коэффициентом. Введем обозначение где β
– численный
коэффициент, зависящий от рассматриваемой конкретной задачи, устройства опор
и нагрузки балки.
Проанализируем зависимость
коэффициента k
от различных факторов. Если учесть, что ,
получим вместо (1.56) Момент инерции сечения балки всегда может быть представлен в виде ,(1.58) где α
– численный коэффициент, зависящий от формы и
характеристик поперечного сечения. Так, для балки двутаврового профиля по
формуле (1.40) при ω
=2F
1
найдем I
=
ωh
2 /3, т.е. α
=1/3. Заметим, что с ростом размеров поясков балки коэффициент α
будет увеличиваться. С учетом (1.58) вместо (1.57) можно записать: Таким образом, значение коэффициента k
существенно зависит от отношения
длины пролета балки к ее высоте, от формы сечения (через коэффициент α
), устройства опор и нагрузки балки (через
коэффициент β
). Чем относительно длиннее балка
(h
/
L
мало),
тем меньше влияние деформации сдвига. Для балок прокатного профиля, имеющих
отношение h
/
L
меньше 1/10÷1/8,
поправка на сдвиг практически может не учитываться. Однако для балок с широкими поясками, таких,
например, как киль, стрингеры и флоры в составе днищевых перекрытий влияние
сдвига и при
указанных h
/
L
может оказаться значительным. Следует отметить, что деформации сдвига оказывают
влияние не только на увеличение прогибов балок, но в некоторых случаях и на
результаты раскрытия статической неопределимости балок и балочных систем. Изгибом
называется деформация, при которой ось стержня и все его волокна, т. е. продольные линии, параллельные оси стержня, искривляются под действием внешних сил. Наиболее простой случай изгиба получается тогда, когда внешние силы будут лежать в плоскости, проходящей через центральную ось стержня, и не дадут проекций на эту ось. Такой случай изгиба называют поперечным изгибом. Различают плоский изгиб и косой. Плоский изгиб
– такой случай, когда изогнутая ось стержня расположена в той же плоскости, в которой действуют внешние силы. Косой (сложный) изгиб
– такой случай изгиба, когда изогнутая ось стержня не лежит в плоскости действия внешних сил. Работающий на изгиб стержень обычно называют балкой.
При плоском поперечном изгибе балок в сечении с системой координат у0х могут возникать два внутренних усилия – поперечная сила Q у и изгибающий момент М х; в дальнейшем для них вводятся обозначения Q
и M.
Если в сечении или на участке балки поперечная сила отсутствует (Q=0), а изгибающий момент не равен нулю или М – const, то такой изгиб принято называть чистым
. Поперечная сила
в каком-либо сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось у всех сил (включая опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения. Изгибающий момент
в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех сил (включая и опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения относительно центра тяжести этого сечения, точнее, относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через центр тяжести проведенного сечения. Сила Q
представляет равнодействующую
распределенных по сечению внутренних касательных напряжений
, а момент
М
– сумму моментов
вокруг центральной оси сечения Х внутренних нормальных напряжений.
Между внутренними усилиями существует дифференциальная зависимость которая используется при построении и проверке эпюр Q и M. Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем
. Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линие
й или нейтральной осью
сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки. Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений. Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе. Поперечное сечение балки при изгибе искажается. За счет поперечной деформации размеры поперечного сечения в сжатой зоне балки увеличиваются, а в растянутой сжимаются. Допущения для вывода формул. Нормальные напряжения
1) Выполняется гипотеза плоских сечений. 2) Продольные волокна друг на друга не давят и, следовательно, под действием нормальных напряжений линейные растяжения или сжатия работают. 3) Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми. 4) Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости. 5) Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков. 6) Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания. При чистом изгибе балки на площадках в ее сечении действуют только нормальные напряжения
, определяемые по формуле: где у – координата произвольной точки сечения, отчитываемая от нейтральной линии — главной центральной оси х. Нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону
. На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю. Характер эпюр нормальных напряжений для симметричных сечений относительно нейтральной линии Характер эпюр нормальных напряжений для сечений, не обладающих симметрией относительно нейтральной линии Опасными являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии. Выберем некоторое сечение Для любой точки сечения,назовем ее точкой К
, условие прочности балки по нормальным напряжениям имеет вид: это осевой момент сопротивления сечения
относительно нейтральной оси. Его размерность см 3 , м 3 . Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений. Условие прочности по нормальным напряжениям:
Если материал неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо использовать два условия прочности: для зоны растяжения с допускаемым напряжением на растяжение; для зоны сжатия с допускаемым напряжением на сжатие. При поперечном изгибе балки на площадках в ее сечении действуют как нормальные
, так и касательные
напряжения. Изгиб
- вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Прямой изгиб
возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. В случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения, называется косым
. Если при прямом или косом изгибе в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент, то соответственно имеется чистый прямой
или чистый косой изгиб
. Если в поперечном сечении действует также и поперечная сила, то имеется поперечный прямой
или поперечный косой изгиб
. Часто термин «прямой» в названии прямого чистого и прямого поперечного изгиба не употребляют и их называют соответственно чистым изгибом и поперечным изгибом. Wikimedia Foundation
.
2010
.
У этого термина существуют и другие значения, см. Стержень. Стержень тело удлиненной формы, два размера которого (высота и ширина) малы по сравнению с третьим размером (длиной) В таком же значении иногда используют термин «брус», а… … Википедия
осесимметричный изгиб круглой пластинки
- Деформированное состояние осесимметричной круглой пластинки, при котором срединная плоскость переходит в поверхность вращения. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 82. Строительная механика. Академия наук СССР. Комитет научно технической… … цилиндрический изгиб пластинки
- Деформированное состояние пластинки, при котором срединная плоскость переходит в цилиндрическую поверхность. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 82. Строительная механика. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1970 г.]… … Справочник технического переводчика
Плита пластина, нагруженная перпендикулярно её плоскости и работающая преимущественно на изгиб из собственной плоскости. Плоскость, которая делит толщину пластины пополам, называется срединной плоскостью плиты. Поверхность, в которую… … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Брус. Брус (в механике материалов и конструкций) модель тела, у которого один из размеров гораздо больше двух других. При расчётах брус заменяют его продольной осью. В строительной механике… … Википедия
косой изгиб
- Деформация бруса, при которой силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных центральных осей его поперечного сечения. Тематики строительная механика, сопротивление материалов EN asymmetric bending … Справочник технического переводчика
плоский изгиб
- Деформация бруса, при которой все нагрузки приложены в одной плоскости, называемой силовой. Тематики строительная механика, сопротивление материалов EN flat bending … Справочник технического переводчика
прямой изгиб
- Деформация бруса, при которой линия пересечения силовой плоскости с плоскостью поперечного сечения совпадает с одной из его главных центральных осей. Тематики строительная механика, сопротивление… … Справочник технического переводчика
РОДЫ
- РОДЫ. Содержание: I. Определение понятия. Изменения в организме во время Р. Причины наступления Р..................... 109 II. Клиническое течение физиологических Р. . 132 Ш. Механика Р. ................. 152 IV. Ведение Р.................. 169 V … Большая медицинская энциклопедия
Механик Императорской Академии Наук, член Императорского Вольного экономического общества. Сын мещанина Нижнего Новгорода, род. в Нижнем Новгороде 10 апреля 1735 г., ум. там же 30 июля 1818 г. Кулибин предназначался отцом торговать мукой, но он с … Большая биографическая энциклопедия
Статьи с близкой тематикой
Отзывы
Глава 1. ИЗГИБ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ БАЛОК И БАЛОЧНЫХ
СИСТЕМ
.
.
направлениям изгибающего момента и перерезывающей силы (б
)
в элементе пояска балки
.
, где н.о. — это нейтральная ось
Нормальное напряжение равно отношению максимального изгибающего момента к осевому моменту сопротивления сечения относительно нейтральной оси.См. также
Ссылки
Смотреть что такое "Изгиб (механика)" в других словарях:
Книги