Прототип задания 11 (№ 27960)

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону \(H(t) = at^2+bt+H_0,\) где \(H_0 = 4\)м - начальный уровень воды, \(a = 1/100 \) м/мин 2 , и b = -2/5 м/мин - постоянные, t - время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Решение

Когда вода полностью вытечет и бака, H будет равно 0. Получаем уравнение:

$$(1/100)t^2 - 2/5t+4 = 0,$$

$$t^2 - 40t+400 = 0,$$

То есть вода будет вытекать из бака в течение 20 минут.

Прототип задания 11 (№ 27961)

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой \(y = ax^2+bx\), где a = -1/100 м -1 , b = 1 - постоянные параметры, x (м) - смещение камня по горизонтали, y (м) - высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Решение

Имеем уравнение:

$$9 \le -0,01x^2+x,$$

$$x^2-100x+900 \le 0,$$

$$10\le x \le 90.$$

Наибольшее возможное расстояние равно 90.

Прототип задания 11 (№ 27962)

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры от времени работы: \(T(t) = T_0 + bt+ at^2\), где t - время в минутах, \(T_0 = 1400 K\), a = -10 K/мин 2 , b = 200 K/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение

$$1760 \ge 1400 + 200t-10t^2,$$

$$t^2 - 20t+36 \ge 0,$$

$$t_1 \ge 18,~t_2 \le 2.$$

Прибор нужно отключить через 2 минуты. Это первое значение t, при котором T станет равным 1760.

Прототип задания 11 (№ 27963)

Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону \(\phi = \omega t+\frac{\beta t^2}{2}\), где t - время в минутах, \(\omega = 20^\circ\)/мин - начальная угловая скорость вращения катушки, а \(\beta = 4^\circ\)/мин 2 - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки \(\phi\) достигнет \(1200^\circ\).Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.

27959. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону

где t - время в секундах, прошедшее с момента открытия крана;

H 0 = 20 м - начальная высота столба воды;

k = 0,02- отношение площадей поперечных сечений крана и бака g - ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с 2).

Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Указанная формула описывает уменьшение высоты столба с течением времени, подставим в неё известные нам величины:

Четверть воды в баке останется, когда высота водяного столба будет 5 метров H (t)=5.

Определим время вытекания воды до уровня (высоты) 5 метров.

В подобных задачах при получении двух положительных решений выбираем наименьший корень. Величина 150 секунд не имеет физического смысла для данной задачи. Так как через 100 секунд вода выльется из бака полностью. Это можно проверить, решив уравнение

0,002∙t 2 – 0,4t +20 = 0

Таким образом, через 50 секунд после открытия крана в баке останется четверть воды.

Ответ: 50

27960. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону

H (t) = at 2 +bt + H 0 , где

H 0 = 4 метра - начальный уровень воды

а = 1/100 м/мин 2 и b = –2/5 м/мин - постоянные

t - время в минутах, прошедшее с момента открытия крана.

В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Вода из бака выльется полностью. Это значит, что её не останется и уровень (высота водяного столба) будет нулевым H (t) = 0. Указанная формула описывает уменьшение высоты столба с течением времени. Решение задачи сводится к решению квадратного уравнения (подставляем значения в формулу):

Через 20 минут вода выльется полностью.

Ответ: 20

В10. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону где t - время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H 0 = 20 м – начальная высота столба воды, k = 1/50 – отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g – ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с 2) Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды? Чтобы составить уравнение, обратите внимание на строку условия Очевидно, что Н(t) = 20: 4 = 5 (м) Формула, описывающая уменьшение воды в баке:

Подставляем данные величины в формулу получаем 500 Таким образом, через 50 секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды. 3 х 1 0 х В

В10. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) =at 2 + bt + H 0, где H 0 = 4 м начальный уровень воды, a = 1/100 м/мин 2 и b = - 2/5 м/мин постоянные, t время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах. Формула, описывающая уменьшение воды в баке: Вода будет вытекать из бака, пока её начальный уровень не понизится до нуля. Очевидно, что тогда Н(t) = 0

Решаем уравнение 100 Это означает, что по прошествии 20 минут вся вода вытечет из бака 3 х 1 0 х В

В10. Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой у = ах 2 + bх, где а = - 1/100 м – 1, b = 1 – постоянные параметры, х м – смещение камня по горизонтали, у м – высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой в 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 м? При заданных значениях параметров a и b траектория полёта камня описывается формулой 8 м 1 м Задача сводится к решению неравенства у 8 + 1, то есть

Корни квадратного трёхчлена х = 10 и х = 90 Решение неравенства - Камни будут перелетать крепостную стену на высоте не менее 1 м, если камнеметательная машина будет находиться на расстоянии от 10 м до 90 м от этой стены Наибольшее расстояние – 90 метров. 3 х 1 0 х В (-100);

В10. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температура вычисляется по формуле T(t) = T 0 + bt + at 2, где t - время в минутах, T 0 = 1600 K, a = - 5 K/мин 2, b = 105 K/мин Известно, что при температуре нагревателя свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах. Подставим в формулу числовые данные: Это условие означает, что при T(t) 1870 прибор может испортиться и его нужно отключить

Решаем неравенство: (- 5); t ////////////////////////////// 3 t 18 Итак, через 3 минуты после включения прибор нагреется до температуры 1870 К и, если его не отключить, то он будет продолжать нагреваться и может испортиться 3 х 1 0 х В 10 3

(1) , где t H 0 =5 k = 1/200 g g =10 м/с 2 ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Задание №28091 В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону H (t )= at 2 + bt + H 0 , где H 0 =2 м — начальный уровень воды, a = 1/50 м/мин 2 , и b =− 2/5 м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Задания для самостоятельного решения.

(1) , где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H 0 =20 м — начальная высота столба воды, k = 1/400 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g =10 м/с 2

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону (1) , где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H 0 =5 м — начальная высота столба воды, k = 1/1000 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g =10 м/с 2 ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону (1) , где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H 0 =5 м — начальная высота столба воды, k = 1/800 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g =10 м/с 2 ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону (1) , где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H 0 =20 м — начальная высота столба воды, k = 1/600 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g =10 м/с 2 ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону H (t )= at 2 + bt + H 0 , где H 0 =2 м — начальный уровень воды, a = 1/200 м/мин 2 , и b =− 1/5 м/мин — постоянные, t

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону H (t )= at 2 + bt + H 0 , где H 0 =6 м — начальный уровень воды, a = 1/600 м/мин 2 , и b =− 1/5 м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону H (t )= at 2 + bt + H 0 , где H 0 =2 м — начальный уровень воды, a = 1/5000 м/мин 2 , и b =− 1/25 м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону H (t )= at 2 + bt + H 0 , где H 0 =6,25 м — начальный уровень воды, a = 1/100 м/мин 2 , и b =− 1/2 м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.