Появление первых машин поставило задачу контроля их технического состояния для определения рациональных сроков и видов ремонтных воздействий. В чёрной металлургии эта задача первоначально решалась путём контроля температуры, наблюдением за изменением вибрации и анализа шумов механизмов. В основном использовались органолептические методы. Осуществлялся контроль специалистами высокой квалификации, оснащёнными простейшими приспособлениями и многолетним практическим опытом. В дальнейшем, при внедрении системы планово-предупредительных ремонтов (ППР) , этот опыт был использован для составления правил технической эксплуатации. Такое тиражирование сказалось на качестве операций по наблюдению за техническим состоянием. Система ППР ориентировала ремонтные службы на поддержание безаварийной работы оборудования путём принудительной замены узлов в среднестатистические сроки. Часто это не приводило к желаемым результатам и увеличивало затраты на содержание оборудования.

Исследования надёжности работы металлургического оборудования [ , ], проведенные в 70-х…80-х годах, показали значительный разброс в сроках службы однотипных элементов. Это потребовало определения фактического состояния конкретного узла безразборными методами технической диагностики для эффективного управления надёжностью оборудования на этапе эксплуатации.

В 90-х годах становится очевидной необходимость перехода на техническое обслуживание металлургического оборудования по фактическому состоянию, что сулит значительную экономию средств, затрачиваемых на обеспечение работоспособного состояния оборудования. Основой должно являться определение фактического состояния оборудования методами технической диагностики. Опыт применения средств технической диагностики на отдельных металлургических предприятиях показал высокую экономическую эффективность.

Существуют следующие стратегии технического обслуживания и ремонта, имеющие свои достоинства и недостатки:

Виды стратегий технического обслуживания и ремонта подразделяют на две группы: пассивные и активные ().

Таблица 1.1 – Сравнительная характеристика стратегий технического обслуживания

Наименование	Сущность	Достоинства	Недостатки
Пассивные
Ремонт после отказа	Механическое оборудование эксплуатируется до выхода из работоспособного состояния – до отказа.	Минимальные затраты на техническое обслуживание.	Непредсказуемость возникающих отказов. Значительные затраты по ликвидации последствий отказов.
Ремонт по состоянию	Техническое обслуживание и ремонт проводятся в зависимости от фактического состояния машин и механизмов.	Ремонт проводится в оптимальные сроки, в необходимом объёме.	Возможность одновременного отказа нескольких механизмов. Необходимость в ремонтных работах может превысить возможности ремонтной службы.
Активные
Планово-предупредительные ремонты	Принудительная замена узлов и деталей в сроки, устанавливаемые на основе статистического анализа отказов.	Повышение безотказности работы оборудования.	Значительные затраты на техническое обслуживание и ремонты. Замена работоспособных элементов.
Активная стратегия ремонтных воздействий	Выявление и устранение отклонений и неисправностей в работе механизмов.	Снижение объёмов ремонтов и увеличение срока службы оборудования.

Пассивные стратегии в той или иной форме отвечают на изменение технического состояния. Соответственно – это ремонт после отказа либо ремонт по состоянию, когда оборудование достигнет предела своего возможного использования. В этом случае имеется возможность одновременного отказа нескольких механизмов, тогда необходимость в ремонтных работах превысит возможности ремонтной службы, что может привести к остановке технологического процесса.

Активные стратегии влияют на состояние оборудования до возникновения необходимости ремонта путём предупредительной замены узлов и деталей либо устранением отклонений и неисправностей в работе механизмов (активная стратегия ремонтных воздействий). Принудительная замена деталей не всегда экономически оправдана, однако повышает безотказность работы оборудования. Проблематичным, в данном случае, является выбор рациональных сроков и объёмов заменяемых деталей. Если техническое состояние оборудования известно, появляется возможность снизить объёмы ремонтов и увеличить срок службы оборудования. Это осуществляется путём выявления и устранения дефектов и повреждений, приводящих к снижению ресурса.

<

>

Система «Галактика ЕАМ» предназначена для автоматизированного управления производственными фондами предприятия. В основу системы «Галактика ЕАМ» заложены принципы современных методологий и стратегий обслуживания оборудования для эффективного их применения при ведении бизнеса.

Применение передовых методологий и стратегий в программах ТОиР увеличивает эффективность использования производственных активов. Обеспечить работоспособность оборудования с минимальными затратами – это всегда актуальная задача, решение которой обеспечит поддержание конкурентоспособности предприятия.

Создание программы ТОиР оборудования осуществляется на основе принятия решений по следующим показателям:

• Организация ремонтного обеспечения производства;
• Оценка эффективности ремонтного обеспечения производства;
• Выбор стратегии ремонтов и технического обслуживания оборудования.

Организация ремонтного обеспечения производства определяет структуру ремонтной службы (РС) предприятия, что оказывает непосредственное влияние на эффективность программы ТОиР.

Классические способы организации РС характеризуются диапазоном моделей от децентрализованной к централизованной, которые отличаются способом управления ресурсами в рамках единой структуры на предприятии:

Децентрализованная РС – это распределение ресурсов РС между производственными подразделениями предприятия.

Централизованная РС – это структура предприятия, которая выполняет весь объём ремонтных работ и отвечает за работоспособность оборудования производственных и вспомогательных цехов.

Смешанная РС – это способ построения РС на основе широкого диапазона промежуточных моделей, которые отличаются различной степенью централизации.

Наиболее эффективной является централизованная модель ТОиР. Также эффективно использовать программы ТОиР, построенные на основе альтернативных способов организации РС.

Альтернативные способы организации РС направлены на привлечение внешних ресурсов для выполнения ремонтов оборудования. Альтернативные способы исполнения работ по ТОиР разделяют на подрядный и сервисный:

Совместное использование классических и альтернативных способов организации ремонтов позволяет обеспечить бо́льшую результативность ТОиР.

Под стратегией ТОиР понимается принятая на предприятии последовательность действий, которая приводит к достижению намеченных целей благодаря координированию и распределению имеющихся ресурсов. По сути, стратегия ТОиР – это определенные правила обслуживания оборудования, соблюдение которых позволяет добиться оптимальной работоспособности оборудования.

Рассмотрим известные стратегии ТОиР:

Run-to-Failure (RTF) Стратегия использования до отказа - это когда ремонтные работы будут выполняться только в случае достижения критического состояния оборудования, при котором оно уже не может выполнять заданные функции, то есть теряет работоспособность. Необходимо отметить, что такой подход к эксплуатации оборудования может привести к аварийным ситуациям, серьезным поломкам с длительным устранением, а также к излишним расходам на ликвидацию последствий и потерям от остановки производства. Формирование резерва материальных ресурсов - не самое лучшее решение, т.к. замораживает оборотные средства. Объём такого резерва часто бывает завышен (например, это касается отраслей с уникальным единичным оборудованием).

Planned Preventive Maintenance (PPM) Стратегия планово-предупредительных ремонтов или ремонтов по регламенту – это технология предупредительного технического обслуживания и ремонтов исходя из статистических сведений о сроках службы оборудования. Наибольшее распространение стратегия ППР получила при плановой экономике. Эта стратегия более приемлема, чем предыдущая, так как позволяет устранить некоторые недостатки подхода к использованию оборудования до отказа. Благодаря систематическому проведению техобслуживания и ремонта и своевременной замене подвижных деталей и запчастей достигается более качественная и длительная эксплуатация оборудования. Но при этом надо отметить, что в стратегии ППР есть свой недостаток – нередко ремонтируются фактически исправные объекты, а также производится обязательная замена деталей независимо от их оставшегося ресурса. В результате этого эксплуатационные затраты становятся неоправданно высоки. К недостаткам ППР относятся также уменьшение оставшегося ресурса оборудования и возросшие риски отказа при введении в эксплуатацию отремонтированного оборудования. Стратегией ППР и сегодня пользуются на многих предприятиях, прежде всего для обслуживания ключевых стратегических объектов, остановка которых может причинить вред окружающей среде, жизни и здоровью людей.

Condition-Based Maintenance (CBM) Стратегия планирования ремонтов исходя из технического состояния (ТС) - это технология обслуживания и ремонта с применением диагностической аппаратуры для мониторинга ТС оборудования в режиме реального времени. При использовании этой стратегии благодаря постоянному мониторингу ТС риск аварийного отказа или серьезного ухудшения работоспособности оборудования минимизируется. Слоган этой стратегии можно сформулировать так: "Оборудование нужно остановить для ремонта за минуту до его предполагаемой поломки". Такой подход к планированию ремонтов уменьшает расходы на ТОиР, сводит к минимуму число непредвиденных отказов, снижает объем простоев агрегатов во время сборочно-монтажных работ. Стратегия ремонтов по ТС призвана нивелировать недостатки предварявшей ее стратегии ППР, то есть снизить количество необязательных ремонтных вмешательств и максимально использовать ресурс оборудования. Стоит оговорить, что стратегия ТОиР по ТС оборудования хороша для краткосрочного планирования ремонтов и не подходит для построения адекватных долгосрочных планов. Средства технической диагностики позволяют предупредить отказ оборудования за два-три месяца до его предполагаемого выхода из строя.

Predictive maintenance (РМ) Прогнозная или проактивная стратегия – это более продвинутый подход к ТОиР, совмещающий преимущества планирования ТОиР по ТС с преимуществами ППР. Суть проактивной стратегии - снизить скорость развития или совсем устранить неисправности, выявленные при мониторинге технического состояния оборудования.

В проактивной стратегии ТОиР ключевым моментом является оценка ТС оборудования, которая может выполняться путем: визуального осмотра, мониторинга технических параметров, контроля температур, акустической и вибрационной диагностики, различных методов обследования (магнитный, радиоволновой, ультразвуковой и проч.).

Решение о ремонте принимается, если неудовлетворительное состояние одного элемента (запчасти) оборудования начинает негативно влиять на состояние других элементов.

Применение проактивной стратегии увеличивает срок службы станков и агрегатов, исключает вторичные повреждения в связи с первичной поломкой (путем немедленной реакции на первичную поломку), сокращает общие затраты на ТОиР, снижает риск аварийного отказа оборудования, повышает коэффициент исправности оборудования.

Reliability Centered Maintenance (RCM) Стратегия обслуживания, ориентированного на надежность – планирование мероприятий, обеспечивающих бесперебойное выполнение функций любого объекта в текущих эксплуатационных условиях. На основании RCM строятся наиболее эффективные планы ТОиР, так как данная методология объединяет разработки и сильные стороны предыдущих стратегий, одновременно обеспечивая стабильность в работоспособности производственных активов с минимальными затратами на их ТОиР.

В основу методологии RCM заложены следующие цели: увеличение степени безопасности людей и окружающей среды, повышение экономической эффективности использования производственных фондов, увеличение срока службы оборудования (плюс растет его производительность), уменьшение числа отказов оборудования, качественное информационное обеспечение процессов принятия решений.

Risk-based maintenance (RBM) Стратегия обслуживания на основании оценки рисков – определяются наиболее эффективные мероприятия, обеспечивающие безопасность и надёжность оборудования (снижение рисков) с минимизацией сопутствующих затрат. Эта стратегия характеризуется оцениванием вероятности отказов. Степень важности оборудования и вероятность его выхода из строя – вот два показателя, определяющих уровень риска при эксплуатации оборудования. Исходя из уровня риска, назначаются сроки и объёмы ТОиР, расставляются приоритеты выполнения ремонтных работ. В результате таких действий повышается надёжность и безопасность производственных активов, понижаются сопутствующие затраты.

Стратегия обслуживания на основании оценки рисков приближена к концепции бережливого производства и направлена на минимизацию потерь от: непродуктивной работы оборудования, простоев, ненужных перемещений обслуживающего персонала, недостатков обеспечения ресурсами, повторных переделок ремонтных работ, нерационального использования ресурсов, неэффективного управления информацией.

Overall Equipment Effectiveness (OEE) Стратегия общей эффективности использования оборудования - предусматривает совокупный анализ ряда показателей (KPI), характеризующих разные составляющие процесса работы оборудования. Анализ этих показателей (таких как простои, замедление работы, ухудшение качества и др.) помогает контролировать и увеличивать эффективность эксплуатации оборудования.

Стратегия OEE позволит обнаружить и затем бороться с потерями и причинами неэффективности работы. Анализ может показать помимо простоев по причине поломки еще и потери, вызванные, например, некачественной настройкой оборудования, снижением его производительности или ожиданием прихода материалов. В конце концов, можно отслеживать, как существующая производительность одного объекта производственных фондов влияет на эффективность всего производства.

Данные OEE могут быть основанием для принятия стратегических решений по капвложениям: можем ли мы улучшить производительность с использованием имеющегося оборудования или же целесообразнее закупить новое.

В процессе эксплуатации оборудование подвергается физическому и моральному износу. Существует два способа восстановления оборудования - полное и частичное. При полном восстановлении оборудование меняется на новое, при частичном оборудование ремонтируется. Для оптимального использования оборудования нужно найти возраст, при котором его необходимо заменить, чтобы доход от машины был максимальным или, если доход подсчитать не удается, издержки на ремонтно-эксплуатационные нужды были минимальными. Данный подход рассматривается с позиции экономических интересов потребителя.

Для оптимизации ремонта и замены оборудования требуется разработать на плановый период стратегию по замене машины. В качестве экономических интересов может быть использован один из двух подходов:

1. Максимум дохода от машины за определенный промежуток времени.

2. Минимум затрат на ремонтно-эксплуатационный нужды, если доход подсчитать не удается.

Данная задача решается методом динамического программирования. Основная идея этого метода заключается в замене одновременного выбора большего количества параметров поочередным их выбором. Этим методом могут быть решены самые различные задачи оптимизации. Общность подхода к решению самых различных задач является одним из достоинств этого метода.

Рассмотрим механизм оптимизации ремонта и замены оборудования. Для решения задачи введем следующие обозначения:

t - возраст оборудования;

d(t) - чистый годовой доход от оборудования возраста t;

U(t) - издержки на ремонтно-эксплуатационные нужды машины возраста t;

С - цена нового оборудования.

Для решения этой задачи введем функцию f n (t) , которая показывает величину максимального дохода за последние n - лет при условии, что в начале периода из n - лет у нас была машина возраста t - лет.

Алгоритм решения задачи следующий:

1) f 1 (t) = max d(0) - С

2) f n (t) = max f n-1 (t+1) + d(t)

f n-1 (1) + d(0) - С

Увеличение издержек приведет к снижению чистого дохода, который рассчитывается так:

d(t) = r(t) - u(t)

r(t) - годовой объем дохода от оборудования возраста t;

u(t) - годовые затраты на ремонтно - эксплуатационные нужды

оборудования возраста t.

Подход максимизации дохода

Для решения этой задачи введем функцию f n (t) , которая показывает величину максимального дохода за последние n - лет при условии, что в начале периода из n-лет у нас было оборудование возраста t-лет.

Если до конца периода остался 1 год

Если до конца периода осталось n лет

где t - возраст оборудования;

d (t) - чистый годовой доход от оборудования возраста t;

C - цена нового оборудования.

Увеличение издержек приведет к снижению чистого дохода, который рассчитывается так

d(t) = r(t) - u(t)

где r (t) - годовой объем дохода от оборудования возраста t;

u(t) - годовые затраты на ремонтно-экплуатационные нужды оборудования возраста t.

Рассчитаем чистый доход по формуле, зная динамику поступления дохода и роста издержек на ремонт.

Таблица 2. Чистый доход от оборудования по годам

Рассчитаем оптимальную стратегию замены и сохранения оборудования, зная динамику поступления дохода и роста издержек на ремонт и цену нового изделия С=44 усл. ед.

Таблица 3. Стратегия замены оборудования

Поле сохранения Поле замены

Построим «оптимальную» стратегию замены оборудования на период 10 лет, которому в начале замены было 1 год. В таблице 3 она показана стрелками, а в сокращенной записи будет иметь следующий вид:

F 10 (2) = 34 + 30 + 26 + 24 - 2 + 38 + 34 + 30 + 26 + 24 = 264

Подход минимизации затрат

В случае, если доход подсчитать не удается, в качестве экономических интересов может быть использован подход минимума затрат на ремонтно-эксплуатационные нужды при разработке стратегии по замене оборудования на плановый период. В данном случае, формулы расчета примут следующий вид:

Если до конца периода остался 1 год:

Если до конца периода осталось n лет:

где f n (t) - функция, которая показывает величину минимальных издержек за последние n-лет при условии, что в начале периода из n-лет у нас было оборудование возраста t-лет;

u(t) - издержки от оборудования возраста t-лет.

Таблица 4

Поле сохранения Поле замены

Построим «оптимальную» стратегию замены оборудования на период 10 лет, которому в начале замены было 1 год. В таблице 4 она показана стрелками, а в сокращенной записи будет иметь следующий вид:

С - С - С - С - З - С - С - С - С - С

Чистый доход за 10 лет от оборудования возраста 1 год при выборе этой стратегии замены составит:

F 10 (2) = 3 + 4 + 6 + 7 + 43 + 1 + 3 + 4 + 6 + 7 = 84

Одной из важных экономических проблем является определение оптимальной стратегии замены старых станков, aipcraTOB и машин на новые. Старение оборудования означает его физический и моральный износ, в результате чего увеличиваются затраты на ремонт и обслуживание, возрастают производственные затраты по выпуску продукции, снижаются

производительность и ликвидная стоимость. Наступает время, когда старое оборудование выгоднее продать, заменить новым, чем эксплуатировать ценой больших затрат; причем его можно заменить новым оборудованием того же вида или новым, более совершенным. Оптимальная стратегия замены оборудования состоит в определении ее оптимальных сроков. Критерием оптимальности при этом может служить прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует оптимизировать, или суммарные затраты на эксплуатацию в течение рассматриваемого промежутка времени, подлежащие минимизации.

Введем обозначения:

r(t) - ежегодные затраты на обслуживание оборудования возраста t лег;

g(t) - остаточная стоимость оборудования возраста t лег;

Р 0 - покупная цена оборудования.

Рассмотрим период N лет, в пределах которого требуется определить оптимальный цикл замены оборудования.

Обозначим через Л*(/) - оптимальные затраты, получаемые от

оборудования возраста t лет за оставшиеся N лет цикла использования оборудования при условии оптимальной стратегии.

Возраст оборудования отсчитывается в направлении течения процесса. Так, / = 0 соответствует случаю использования нового оборудования. На каждом этапе /V-стадийного процесса должно быть принято решение о сохранении, замене или проведении ремонта оборудования. Выбранный вариант должен обеспечивать получение минимизации суммарных затрат на эксплуатацию в течение рассматриваемого промежутка времени.

Предполагается, что переход от работы на оборудовании возраста t лег к работе на новом оборудовании совершается мгновенно, то есть замена старого оборудования и переход к работе на новом оборудовании укладываются в один период.

Пример 4.2

Оборудование эксплуатируется в течение пяти лет и после этого продается. В начале каждого года можно принять решение о сохранении оборудования или его замене новым. Стоимость нового оборудования Р 0 = 4000 руб. После t лет эксплуатации (1 g(t) = Р 0 2~‘ руб. (ликвидная стоимость). Затраты на содержание в течение года зависят от возраста оборудования t и равны r(t) = 600(/ + 1).

Определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, чтобы суммарные затраты с учетом начальной покупки и заключительной продажи были минимальными.

Решение. Способ деления управления на шаги естественный - но годам, п = 5. Параметр состояния - возраст машины лу= t, ,v 0 = 0 - машина новая в начале первого года эксплуатации. Управление на каждом шаге зависит от двух переменных If и If.

Уравнения состояний зависят от управления:

Показатель эффективности А"-го шага:

(при If затраты только на эксплуатацию машины возраста t, при If машина продается (-4000 2~"), покупается новая (4000) и эксплуатируется в течение первого года (600), общие затраты равны (-4000 2 " + 4000 + 600)).

Пусть л’ (?) - условные оптимальные затраты на эксплуатацию машины, начиная с А"-го шага до конца, при условии, что к началу А"-го шага машина имеет возраст / лег. Запишем для функций Л"(г) уравнения Веллмана, заменив задачу максимизации задачей минимизации:

Величина 4000 2 0+11 - стоимость машины возраста t лет (по условию машина после пяти лет эксплуатации продается):

Из определения функций Л* (/) следует A min = Л*(0).

Представим геометрическое решение этой задачи. Отложим по оси абсцисс номер шага к, а по оси ординат - возраст машины /. Точка (к - 1, /) на плоскости соответствует началу А - -го года эксплуатации машины возраста / лет. Перемещение на графике в зависимости от принятого управления на /о-м шаге показано на рис. 4.3.

Рис. 4.3

Состояние начала эксплуатации машины соответствует точке,v‘(0, 0), конец - точкам.5(5,/). Любая траектория, переводящая точку ДА-1, /) из в.5, состоит из отрезков - шагов, соответствующих годам эксплуатации. Необходимо выбрать такую траекторию, при которой затраты на эксплуатацию машины окажутся минимальными.

Над каждым отрезком, соединяющим точки (А’ - 1, /) и (А, / + 1), записываются соответствующие управлению If затраты (600(/ + 1)), а над отрезком, соединяющим точки (к - 1, /) и (к , /), - затраты, соответствующие управлению If (4600 - 4000 2 "). Таким образом размещаются все отрезки, соединяющие точки на 1рафикс, соответствующие переходам из любого состояния лд_| в состояние s k (см. рис. 4.3).

Далее на размеченном фафе производится условная оптимизация. В состояниях (5, /) машина продается, условный оптимальный доход от продажи равен 4000 2~‘, но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точек (5, /) ставится величина дохода со знаком минус. Далее на последующих этапах выбираются минимальные затраты среди двух возможных переходов, записываются в кружок данной точки, а соответствующие управления на этом шаге помечаются пунктирной стрелкой. При этом на каждом шаге трафически решаются уравнения Веллмана (рис. 4.4).

После проведения условной оптимизации получим в точке (0, 0) минимальные затраты на эксплуатацию машины в тсченШ пяти лет с последующей продажей: A min = 11 900. Далее строится оптимальная траектория, перемещаясь из точки So(0, 0) по пунктирным стрелкам в.?. Получаем набор точек: {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 2), (5, 3)}, который соответствует оптимальному управлению U"(u c , U‘, U U c , U c). Оптимальный режим

эксплуатации состоит в том, чтобы заменить машину новой в начале третьего года.

Таким образом, размеченный график (сеть) позволяет наглядно интерпретировать расчетную схему и решить задачу методом динамического программирования.

Модели и вычислительные процедуры динамического программирования очень гибки в смысле возможностей включения различных модификаций задачи. Например, аналогичная задача может быть рассмотрена для большого числа вариантов управления, «ремонт», «капитальный ремонт» и г.д. Все эти факторы могут быть учтены вычислительной схемой динамического программирования.

Динамическое программирование

Динамическое программирование – один из разделов оптимального программирования, в котором процесс принятия и управления может быть разбит на отдельные этапы.

Экономический процесс является управляемым, если можно влиять на ход его развития. Под управлением понимается совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход развития процесса. Например, выпуск продукции предприятием – управляемый процесс. Совокупность решений, принимаемых в начале года по обеспечению предприятия сырьём, замене оборудования, финансированию и т. д., является управлением. Необходимо организовать выпуск продукции так, чтобы принятые решения на отдельных этапах способствовали получению максимально возможного объёма продукции или прибыли.

Одним из основных методов динамического программирования является метод рекуррентных соотношений, который основывается на использовании принципа оптимальности, разработанного американским математиком Беллманом. Принцип состоит в том, что, каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, к которому придёт система в конце данного шага. Использование данного принципа гарантирует, что управление, выбранное на любом шаге, лучше с точки зрения процесса в целом.

В некоторых задачах, решаемых методом динамического программирования, процесс управления разбивается на шаги. При распределении на несколько лет ресурсов деятельности предприятия шагом считается временной период; при распределении средств между предприятиями – номер очередного предприятия.

Одной из важнейших экономических проблем является определение оптимальной стратегии в замене старых станков, агрегатов, машин на новые.

Старение оборудования включает его физический и моральный износ, в результате чего растут производственные затраты по выпуску продукции на старом оборудовании, увеличиваются затраты на ремонт и обслуживание, снижаются производительность и ликвидная стоимость.

Вполне возможно, что старое оборудование выгоднее продать, заменить новым, чем эксплуатировать его; причём его можно заменить новым оборудованием того же вида или новым, более совершенным.

Оптимальная стратегия замены оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены. Критерием оптимальности при этом может служить прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует оптимизировать, или суммарные затраты на эксплуатацию в течение рассматриваемого промежутка времени, подлежащие минимизации.

Будем использовать обозначения:

r(t) – стоимость продукции, производимой за один год на единице оборудования возраста t лет;

u(t) – ежегодные затраты на обслуживание оборудования возраста t лет;

s(t) – остаточная стоимость оборудования возраста t лет;

Р – покупная цена оборудования.

Рассмотрим период N лет, в пределах которого требуется определить оптимальный план замены оборудования.

Обозначим через f N (t) максимальный доход, получаемый от оборудования возраста t лет за оставшиеся N лет цикла использования оборудования при условии оптимальной стратегии.

Возраст оборудования отсчитывается в направлении течения процесса. Так, t = 0 соответствует случаю использования нового оборудования. Временные же стадии процесса нумеруются в обратном направлении по отношению к ходу процесса. Например, N = 1 относится к одной временной стадии, остающейся до завершения процесса.

На каждом этапе N -стадийного процесса должно быть принято решение о сохранении или замене оборудования. Выбранный вариант должен обеспечивать получение максимальной прибыли.

Уравнения, помогающие выбрать оптимальное решение, имеют вид:

Первое уравнение описывает N -стадийный процесс, а второе – одностадийный. Оба уравнения состоят из двух частей: верхняя строка определяет доход, получаемый при сохранении оборудования; нижняя – доход, получаемый при замене оборудования и продолжении процесса работы на новом оборудовании.

В первом уравнении функция r(t) - u(t) есть разность между стоимостью произведённой продукции и эксплуатационными издержками на N – й стадии процесса.

Функция f N -1 (t+1) характеризует суммарную прибыль от (N - 1) оставшихся стадий для оборудования, возраст которого в начале осуществления этих стадий составляет (t + 1) лет.

Нижняя строка уравнения 1 характеризуется следующим образом: функция s(t) – P представляет чистые издержки по замене оборудования, возраст которого t лет.

Функция r (0) выражает доход, получаемый от нового оборудования возраста 0 лет. Предполагается, что переход от работы на оборудовании возраста t лет к работе на новом оборудовании совершается мгновенно, т. е. период замены старого оборудования и переход на работу на новом оборудовании укладываются в одну и ту же стадию.

Последняя функция f N -1 (1) в первом уравнении представляет собой доход от оставшихся N – 1 стадий, до начала осуществления которых возраст оборудования составляет один год.

В уравнении для одностадийного процесса нет слагаемого вида f 0 (t + 1), так как N принимает значения 1, 2, …, N . Равенство f 0 (t ) = 0 следует из определения функции f N (t).

Рассмотренные уравнения являются рекуррентными соотношениями, которые позволяют определить величину f N (t) в зависимости от f N -1 (t+1) . Данные уравнения показывают, что при переходе от одной стадии процесса к следующей возраст оборудования увеличивается с t до (t +1) лет, а число оставшихся стадий уменьшается с N до (N – 1).

Уравнения позволяют оценить варианты замены и сохранения оборудования, с тем, чтобы принять тот из них, который предполагает больший доход. Эти соотношения позволяют выбрать линию поведения при решении вопроса о сохранении и замене оборудования, а также определить прибыль, получаемую при принятии каждого из этих решений.

Пример. Р = 10, S(t) = 0, f(t) = r(t) - u(t) , представленных в таблице.

t

f(t)

РЕШЕНИЕ. Запишем уравнения в следующем виде:

.

…………………………………………………

…………………………………………………

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет выполнено условие f 1 (1) > f 2 (2), т. е. в данный момент оборудование необходимо заменить, так как величина прибыли, получаемая в результате замены оборудования, больше, чем в случае использования старого. Результаты расчётов помещаются в таблицу, момент замены отмечается звёздочкой, после чего дальнейшие вычисления по строке прекращаются.

t f N (t)

N

N- 1

f 1 (t)

f 2 (t)

9*

f 3 (t)

17 *

f 4 (t)

24*

f 5 (t)

30*

f 6 (t)

35*

f 7 (t)

41*

f 8 (t)

48*

f 9 (t)

54*

f 10 (t)

60*

f 11 (t)

65*

f 12 (t)

72*

По результатам вычислений и по линии, разграничивающей области решений сохранения и замены оборудования, находим оптимальный цикл замены оборудования. Для данной задачи он составляет 4 года.

Ответ. Для получения максимальной прибыли от использования оборудования в двенадцатиэтапном процессе оптимальный цикл состоит в замене оборудования через каждые 4 года.

Задачи для групповой работы на занятии по теме «Динамическое программирование»

1. К началу рассматриваемого периода на предприятии установлено новое оборудование. Зависимость производительности этого оборудования от времени его работы, а также затраты на содержание и ремонт при различном времени его использования приведены в таблице.

Известно, что затраты, связанные с приобретением и установкой нового оборудования составляют 40 млн. р., а заменяемое оборудование списывается. Составить такой план замены оборудования в течение пяти лет, при котором общий доход за данный период времени максимален.

2. К началу анализируемого периода на предприятии установлено новое оборудование.

Определить оптимальный цикл замены оборудования при следующих исходных данных:

покупная цена оборудования (Р ) составляет 12 ден. ед.;

остаточная стоимость оборудования S (t ) = 0;

f (t ) = r (t ) – u (t ) – максимальный доход, получаемый от оборудования возраста t лет за год при условии оптимальной стратегии, где r (t ) – стоимость продукции, выпускаемой за год на единице оборудования возраста t лет, u (t ) – ежегодные затраты на обслуживание оборудования возраста t лет;

N = 8 лет.

Зависимость f (t ) от t задана в таблице.

Найти оптимальную стратегию фирмы в распределении автолавок по населённым пунктам, максимизирующую общий товарооборот.

4. В таблице указан возможный прирост выпуска продукции четырьмя плодово-консервными заводами в области в млн. р. При осуществлении инвестиций на их модернизацию с дискретностью 50 млн. р., причём на один завод можно осуществить только одну инвестицию.

Составить план распределения инвестиций между заводами области, максимизирующий общий прирост выпуска продукции.

5. В трёх областях необходимо построить 5 предприятий по переработке сельскохозяйственной продукции одинаковой мощности.

Разместить предприятия таким образом, чтобы осуществить минимальные суммарные затраты на их строительство и эксплуатацию.

Функция расходов g i (x ), характеризующая величину затрат на строительство и эксплуатацию в зависимости от количества размещаемых предприятий в i -й области, приведена в таблице.

А Х (восток)

Ответы: 1. Оборудование заменить через 3 года.

2. Оборудование заменить через 4 года.

3. В первый населённый пункт направить 1 автолавку, во второй – 3, в третий – 1, при этом товарооборот будет максимальный, равный 64 тыс. р.

4. Инвестировать третьему заводу 50 млн. р., четвёртому заводу – 150 млн. р., максимальный прирост выпуска продукции составит 146 млн. р.

5. В первой области построить 2 предприятия, в третьей – 3, минимальные затраты составят 29 млн. р.

6. , минимальные затраты равны 35 млн. р.