Оптимальные сроки замены старого оборудования. Этапы решения задачи динамического программирования
Задача замены оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены старого оборудования (станков, производственных зданий и т.п.) в процессе его эксплуатации. С течением времени растут производственные затраты на текущий и капитальный ремонт и обслуживание, снижаются производительность труда, ликвидная стоимость.
Поэтому в определенный момент времени возникает необходимость (экономическая целесообразность) замены старого оборудования на новое. Критерием оптимальности являются, как правило, либо прибыль от эксплуатации оборудования (задача максимизации), либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).
Таким образом, задача состоит в нахождении плана-графика замены старого оборудования на новое в течение планируемого периода эксплуатации.
Основная характеристика оборудования – параметр состояния – его возраст .
При составлении
динамической модели замены процесс
замены рассматривают как
– шаговый, разбивая весь период
эксплуатации на n шагов. Возможное
управление на каждом шаге характеризуется
качественными признаками, например,
(сохранить оборудование),
(заменить оборудование).
При решении задачи замены оборудования используются следующие исходные данные:
–период планирования;
–ликвидная
стоимость оборудования (
);
–стоимость
содержания оборудования (
);
–первоначальная стоимость оборудования ().
Уравнения состояний системы зависят от управления:
В самом деле, если
к
-ому
шагу
,
то при сохранении оборудования
через год возраст оборудования увеличится
на 1. Если оборудование заменяется новым
,
то это означает, что к началу-ого
шага её возраст=0,
а после года эксплуатации=1,
т.е.
.
Показатель эффективности -ого шага:
.
Пусть
– условные оптимальные затраты на
эксплуатацию оборудования, начиная с-ого
шага до конца, при условии, что к началу-ого
шага оборудование имеет возрастлет.
Тогда уравнения Беллмана будут иметь вид:
Геометрическое
решение задачи замены оборудования.
Схема расчетов при решении задачи замены
оборудования может быть представлена
в виде двухкоординатной диаграммы
(графа). На оси абсцисс будем откладывать
номер шага
,
на оси ординат – возраст оборудования.
Точка
на
плоскости соответствует началу-го
года эксплуатации оборудования возрасталет. Перемещение на графике в зависимости
от принятого управления на-м
шаге показано на рисунке.
Над каждым отрезком,
соединяющим точки
и
,
записываются соответствующие управлению
затраты на сохранение оборудования, а
над отрезком, соединяющим точки
и
,
запишем затраты, соответствующие замене
оборудования – управлению
.
Таким образом, будут размечены все
отрезки, соединяющие точки на графике,
соответствующие переходам из любого
состояния
в состояние.
Решение типового примера
Задание 4
На производственном
предприятии «ТИТАН» оборудование
эксплуатируется в течение
лет, после чего продается (считается,
что послелет
оборудование в результате морального
износа не способно обеспечить выпуск
конкурентоспособной продукции). В начале
каждого года руководство предприятия
принимает решение сохранить оборудование
или заменить его новым аналогичным (при
этом старое оборудование продается, а
вырученные средства направляются на
покрытие части стоимости нового
оборудования). Первоначальная стоимость
нового оборудования составляет
тыс. руб.,
затраты на содержание оборудования –
тыс. руб.,
и ликвидная стоимость оборудования –
тыс. руб.
приведены в табл. 11.
Таблица 11
Исходные данные задачи замены оборудования
Необходимо:
1. Определить минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию оборудования в течение рассматриваемого периода .
2. Определить оптимальную стратегию (план-график) эксплуатации оборудования, обеспечивающую минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию в течение рассматриваемого периода в условиях текущих цен.
3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.
1. Определим минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию оборудования в течение 5 лет. Проведем на размеченном графе (рис. 28) условную оптимизацию.
5 шаг. В состояниях
(5, )
оборудование продается, условный
оптимальный доход от продажи равен
ликвидной стоимости
,
но поскольку целевая функция связана
с затратами, то в кружках точек (5,)
ставим величину дохода со знаком «–».
Состояние (4,1).
Таким образом, если система к последнему шагу находилась в точке (4,1), то следует идти в точку (5,2) (укажем это направление пунктирной линией).
Состояние (4,2).
Динамическое программирование. Задача о замене оборудования
Найти оптимальные сроки замены оборудования. Первоначальная стоимость оборудования q 0 =6000 усл. ед., ликвидационная стоимость L(t)=q 0 2 -i , стоимость содержания оборудования возраста i лет в течение 1 года S(t)=0,1q 0 (t+1), срок эксплуатации оборудования 5 лет. В конце срока эксплуатации оборудование продается. Задачу решить графически.
Для построения графика в ПП Wolfram Mathematica 6.0 вводим
g = Plot[{6000*2^-x, 600*(x + 1)}, {x, 0, 5}]
В итоге получаем график:
Из графика видим, что оптимальный срок замены оборудования является второй год его эксплуатации.
Динамическое программирование. Оптимальное распределение средств между предприятиями
Найти оптимальное распределение средств в размере 9 усл. ед. между четырьмя предприятиями. Прибыль от каждого предприятия является функцией от вложенных в него средств и представлена таблицей:
Вложенные средства |
|||||||||
I предприятие |
|||||||||
II предприятие |
|||||||||
III предприятие |
|||||||||
IV предприятие |
Вложения в каждое предприятия кратны 1 усл. ед.
Разобьем процесс выделения средств предприятиям на 4 этапа: на первом этапе выделяется y 1 средств предприятию П 1 , на втором -y 2 средств предприятию П 2 , на третьем - y 3 средств предприятию П 3 , на четвертом третьем - y 4 средств предприятию П 4
x n = x n - 1 - y n , n = 1,2,3, 4.
Заметим, что на четвертом этапе выделения средств весь остаток x 3 вкладывается в предприятие П 4 , поэтому y 3 = x 4 .
Воспользуемся уравнениями Беллмана для N = 4.
В результате получим следующие таблицы:
Таблица 1
|
||||||||||||
Таблица 2
Таблица 3
Таблица 4
Из Таблицы 4 вытекает, что оптимальным управлением будет y 1 * =3, при этом оптимальная прибыль равна 42. Далее получаем
х 1 =х 0 -у 1 *=9-3=6, 2 (х 1)= 2 (6)=30, y 2 * =1
х 2 =х 1 -у 2 *=6-1=5, 3 (х 2)= 3 (5)=23, y 3 * =1
х 3 =х 2 -у 3 *=5-1=4, 4 (х 3)= 4 (4)=15, y 3 * =4
Таким образом, наиболее оптимальным является вложение в предприятия П1, П2, П3 и П4 денежных средств в размере 4, 1,1 и 3 усл.ед., соответственно. В этом случае прибыль будет максимальной и составит 42 усл. ед.
После того как выполнены пункты 1-7, и математическая модель составлена, приступают к ее расчету.
Основные этапы решения задачи динамического программирования:
- 1. Определение множества возможных состояний Sm для последнего шага.
- 2. Проведение условной оптимизации для каждого состояния s€ Sm на последнем m-м шаге по формуле (1.3) и определение условного оптимального управления x(s), s€ Sm
- 3. Определение множества возможных состояний Si для i-го шага, i=2,3…,m-1.
- 4. Проведение условной оптимизации i-го шага, i=2,3…,m-1 для каждого состояния s€ S m по формуле (1.4) и определение условного оптимального управления x i (s), s€ S m , i=2,3…,m-1.
- 5. Определение начального состояния системы s 1 , оптимального выигрыша W1(S1) и оптимального управления x1(S1) по формуле (1.4) при i=1. Это есть оптимальный выигрыш для всей задачи W* =W 1 (x 1 *).
- 6. Проведение безусловной оптимизации управления. Для проведения безусловной оптимизации необходимо найденное на первом шаге оптимальное управление x 1 *=x 1 (s 1) подставить в формулу (1.2) и определить следующее состояние системы s 1 =f 1 (s 1 ,x 1). Для измененного состояния найти оптимальное управление x 2 *=x 2 (s 2), подставить в формулу (1.2) и т.д. Для i-го состояния s 1 найти s i+1 =f i+1 (s i ,x i *) и x* i+1 (s i+1) и т.д.
Динамическое программирование обычно придерживается двух подходов к решению задач:
- · нисходящее динамическое программирование: задача разбивается на подзадачи меньшего размера, они решаются и затем комбинируются для решения исходной задачи. Используется запоминание для решений часто встречающихся подзадач;
- · восходящее динамическое программирование: все подзадачи, которые впоследствии понадобятся для решения исходной задачи просчитываются заранее и затем используются для построения решения исходной задачи.
Этот способ лучше нисходящего программирования в смысле размера необходимого стека и количества вызова функций, но иногда бывает нелегко заранее выяснить, решение каких подзадач нам потребуется в дальнейшем.
Задача о замене оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются либо доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации), либо суммарные затраты на эксплуатацию (задача минимизации) в течение планируемого периода. Мы будем рассматривать задачу максимизации, и критерием оптимальности будет доход от эксплуатации оборудования.
Принцип оптимальности Беллмана -- важнейшее положение динамического программирования, которое гласит: оптимальное поведение в задачах динамического программирования обладает тем свойством, что каковы бы ни были первоначальное состояние и решение (т. е. “управление”), последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения. Этот принцип можно выразить и рассуждая от противного: если не использовать наилучшим образом то, чем мы располагаем сейчас, то и в дальнейшем не удастся наилучшим образом распорядиться тем, что мы могли бы иметь.
Следовательно, если имеется оптимальная траектория, то и любой ее участок представляет собой оптимальную траекторию.
Этот принцип позволяет сформулировать эффективный метод решения широкого класса многошаговых задач.
Под функцией Беллмана в текущий момент времени понимаем минимальное значение критерия качества в текущий момент времени: Если t=0, то
Таким образом, значение функции Беллмана S(x,t) определяет минимальную величину функционала для любого начального состояния x(t) в любой момент времени t . С другой стороны, значение функции Беллмана совпадает со значением, так называемых текущих потерь на управление:
Эксплуатация оборудования планируется в течение n лет, но оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньшую годовую прибыль r(t) , где t - возраст оборудования. При этом есть выбор: либо в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену S(t) , которая также зависит от возраста, и купить новое оборудование за цену P , либо оставить оборудование в эксплуатации. Требуется найти оптимальный план замены оборудования с тем, чтобы суммарная прибыль за все n лет была максимальной, учитывая, что к началу эксплуатационного периода возраст оборудования составляет t 0 лет.
Входными данными к этой задаче являются:
r(t) - доход от эксплуатации в течение одного года оборудования возраста t лет;
S(t) - остаточная стоимость оборудования;
P - цена нового оборудования;
t 0 - начальный возраст оборудования.
Переменной управления на k -м шаге является логическая переменная, которая может принимать два значения: С - сохранить , З - заменить оборудование в начале k -го года. Переменной состояния системы на k -м шаге является переменная t .
Функцию Беллмана F k (t) определим как максимально возможную прибыль от эксплуатации оборудования за годы с k -го по n -й, если к началу k -го года возраст оборудования составлял t лет. Применяя то или иное управление, мы переводим систему в некоторое новое состояние, а именно, если в начале k -го года мы оборудование сохраняем, то к началу следующего (k+1) -го года его возраст увеличится на 1 (состояние системы станет равно t +1), за год оно принесет прибыль r(t) , и максимально возможная прибыль за оставшиеся годы (с (k+1) -го по n -й) составит F k+1 (t+1) . Если же в начале k -го года принимаем решение на замену оборудования, то мы продаем старое оборудование возраста t лет за цену S(t) , покупаем новое оборудование за цену P и эксплуатируем его в течение k -го года, что приносит за этот год прибыль r(0) . К началу следующего года возраст оборудования составит 1 год, и за все годы с (k+1) -го по n -й максимально возможная прибыль будет F k+1 (1) .
Из этих двух вариантов управления выбираем тот, который приносит большую прибыль. Уравнение Беллмана на каждом шаге имеет вид:
Функцию Беллмана для первого шага (k=n ) легко вычислить - это максимально возможная прибыль только за последний n -й год:
Вычислив значение функции F n (t) по формуле (2), далее можно посчитать F n-1 (t) , затем F n-2 (t) и так далее до F 1 (t 0 ) . Функция F 1 (t 0 ) представляет собой максимально возможную прибыль за все годы (с 1-го по n -й). Этот максимум достигается при некотором управлении, применяя которое в течение первого года, мы определяем возраст оборудования к началу второго года (в зависимости от того, какое управление является для первого года оптимальным, это будет 1 или t 0 +1). Для данного возраста оборудования по результатам, полученным на этапе условной оптимизации , мы смотрим, при каком управлении достигается максимум прибыли за годы со 2-го по n -й и так далее. На этапе безусловной оптимизации отыскиваются годы, в начале которых следует произвести замену оборудования.
Определить оптимальную стратегию использования оборудования в период времени длительностью т лет, причем прибыль за каждые i лет, i = от использования оборудования возраста t лет должна быть максимальной.
Известны
r (t ) – выручка от реализации продукции, произведенной за год на оборудовании возраста t лет;
l (t ) – годовые затраты, зависящие от возраста оборудования t;
с (t ) – остаточная стоимость оборудования возраста t лет;
Р – стоимость нового оборудования.
Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, выраженный в годах.
Воспользуемся приведенными выше этапами составления математической модели задачи.
1. Определение числа шагов. Число шагов равно числу лет, в течение которого эксплуатировалось это оборудование.
2. Определние состояний системы. Состояние системы характеризуется возрастом оборудования t , t= .
3. Определение уравнений. В начале i -го шага, i = может быть выбрано одно из двух управлений: заменять или не заменять оборудование. Каждому варианту управления приписывается число
4. Определение функции выигрыша на i -ом шаге. Функция выигрыша на i -ом шаге – это прибыль от использования оборудования к концу i -го года эксплуатации, t= , i = . Таким образом, если оборудование не продается, то прибыль от его использования – это разность между стоимостью произведенной продукции и эксплуатационными издержками. При замене оборудования прибыль составляет разность между остаточной стоимостью оборудования и стоимостью нового оборудования, к которой прибавляется разность между стоимостью продукции и эксплуатационными издержками для нового оборудования, возраст которого в начале i -го шага составляет 0 лет.
5. Определение функции изменения состояния
(9.7)
Таким образом, если оборудование не меняется х i =0, то возраст оборудования увеличивается на один год t +1, если же оборудование меняется х i =1, то оборудование будет годовалым.
6. Составление функционального уравнения для i =т
Верхняя строка функционального уравнения соответствует ситуации, при которой в последний год оборудование не меняется и предприятие получает выигрыш в размере разницы между выручкой r (t ) и годовыми затратами l (t ).
7. Составление основного функционального уравнения
где W i (t t лет с i -го шага (с конца i -го года) до конца периода эксплуатации;
W i + 1 (t ) – прибыль от использования оборудования возраста t+ 1год с (i +1)-го шага до конца периода эксплуатации.
Математическая модель задачи построена.
Пример
т =12, р= 10, с (t )=0, r (t ) – l (t )=φ (t ).
Значения φ (t ) даны в таблице 9.1.
Таблица 9.1.
t | |||||||||||||
φ (t ) |
Для данного примера функциональные уравнения будут иметь вид
Рассмотрим заполнение таблицы для нескольких шагов.
Условная оптимизация начинается с последнего 12-го шага. Для i =12 рассматриваются возможные состояния системы t= 0, 1, 2, …, 12. Функциональное уравнение на 12-ом шаге имеет вид
1) t= 0 х 12 (0)=0.
2) t= 1 х 12 (1)=0.
10) t= 9 х 12 (9)=0.
11) t= 10 х 12 (10)=0; х 12 (10)=1.
13) t= 12 х 12 (12)=0; х 12 (12)=1.
Таким образом, на 12-ом шаге оборудование возраста 0 – 9 лет заменять не надо. Оборудование возраста 10 – 12 лет можно заменить или продолжить его эксплуатировать, так как для t= 10, 11, 12 имеется два условных оптимизационных управления 1 и 0.
По результатам расчетов заполняются два столбца таблицы 9.2, соответствующие i= 12.
Условная оптимизация 11-го шага.
Для i =11 рассматриваются все возможные состояния системы t =0, 1, 2, …, 12. Функциональное уравнение на 11-м шаге имеет вид
1) t= 0 х 11 (0)=0.
2) t= 1 х 11 (1)=0.
6) t= 5 х 11 (5)=0; х 11 (5)=1.
7) t= 6 х 11 (6)=1.
13) t= 12 х 11 (12)=1.
Таким образом на 11-ом шаге не следует заменять оборудование возраста 0 – 4 года. Для оборудования возраста 5 лет возможны две стратегии использования: заменить или продолжать эксплуатировать.
Начиная с 6-го года оборудование следует заменять. По результатам расчетов заполняются два столбца таблицы 9.2, соответствующие i =11.
1) t= 0 х 10 (0)=0.
2) t= 1 х 10 (1)=0.
3) t= 2 х 10 (2)=0.
4) t= 3 х 10 (3)=0.
5) t= 4 х 10 (4)=1.
13) t= 12 х 10 (12)=1.
На 10-ом шаге не следует заменять оборудование возраста 0 – 3 года. Начиная с 4-го года, оборудование следует заменять, так как новое оборудование приносит бóльшую прибыль.
По результатам расчетов заполняются два столбца в 9.2, соответствующие i =10.
Аналогичным образом заполняются остальные девять столбцов таблицы 9.2. При расчетах W i + 1 (t ) на каждом шаге значения φ (t ) для каждого t =0, 1, 2, …, 12 берутся из таблицы 9.1 исходных данных, приведенной в условии задачи, а значения W i (t ) – из последнего, заполненного на предыдущем шаге столбца в 9.2.
Этап условной оптимизации заканчивается после заполнения таблицы 9.2.
Безусловная оптимизация начинается с первого шага.
Предположим, что на первом шаге i =1 имеется новое оборудование, возраст которого 0 лет.
Для t=t 1 =0 оптимальный выигрыш составляет W 1 (0)=82. Это значение соответствует максимальной прибыли от использования нового оборудования в течение 12 лет.
W*=W 1 (0)=82.
Выигрышу W 1 (0)=82 соответствует х 1 (0)=0.
Для i =2 по формуле (9.7) t 2 =t 1 +1=1.
Безусловное оптимальное управление х 2 (1)=0.
Для i =3 по формуле (9.7) t 3 =t 2 +1=2.
Безусловное оптимальное управление х 3 (2)=0.
i =4 | t 4 =t 3 +1=3 | х 4 (3)=0 |
i =5 | t 5 =t 4 +1=4 | х 5 (4)=1 |
i =6 | t 6 = 1 | х 6 (1)=0 |
i =7 | t 7 =t 6 +1=2 | х 7 (2)=0 |
i =8 | t 8 =t 7 +1=3 | х 8 (3)=0 |
i =9 | t 9 =t 8 +1=4 | x 9 (4)=1 |
i =10 | t 10 = 1 | х 10 (1)=0 |
i =11 | t 11 =t 10 +1=2 | х 11 (2)=0 |
i =12 | t 12 =t 11 +1=3 | х 12 (3)=0 |
В рамках данной задачи оптимальная стратегия заключается в замене оборудования при достижении им возраста 4-х лет. Аналогичным образом можно определить оптимальную стратегию использования оборудования любого возраста.
В левой колонке таблицы 9.2 записываются возможные случаи системы t = , в верхней строке – номера шагов i = . Для каждого шага определяются условные оптимальные управления х i (t ) и условный оптимальный выигрыш W i (t ) c i -го шага и до конца для оборудования возраста t лет.
Управления, составляющие оптимальную стратегию использования оборудования, выделены в таблице 9.2 жирным шрифтом.
Таблица 9.2.
t | i =12 | i =11 | i =10 | i =9 | i =8 | i =7 | i =6 | i =5 | i =4 | i =3 | i =2 | i =1 | ||||||||||||
x 12 | W 12 | x 11 | W 11 | x 10 | W 10 | x 9 | W 9 | x 8 | W 8 | x 7 | W 7 | x 6 | W 6 | x 5 | W 5 | x 4 | W 4 | x 3 | W 3 | x 2 | W 2 | x 1 | W 1 | |
0/1 | 0/1 | |||||||||||||||||||||||
0/1 | 0/1 | 0/1 | 0/1 | |||||||||||||||||||||
0/1 | 0/1 | 0/1 | ||||||||||||||||||||||
0/1 | ||||||||||||||||||||||||
0/1 | ||||||||||||||||||||||||
0/1 |
Данный сервис предназначен для онлайн решения задачи оптимальной стратегии обновления оборудования . Обычно в исходных данных задаются следующие параметры:
- r(t) - стоимость продукции, произведенной в течение каждого года планового периода с помощью этого оборудования;
- u(t) - ежегодные затраты, связанные с эксплуатацией оборудования;
- s(t) - остаточная стоимость оборудования;
- р - стоимость нового оборудования, включающая расходы, связанные с установкой, наладкой, запуском оборудования и не меняющаяся в данном плановом периоде.
Планирование капитальных вложений.
Пример №1 . Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в таблице, стоимость нового оборудования равна P = 13 , а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
r(t) | 8 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 |
s(t) | 12 | 10 | 8 | 8 | 7 | 6 | 4 |
I этап. Условная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1).
Переменной управления на k-м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (З) оборудование в начале k-го года.
1-й шаг: k = 6. Для 1-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5,6, а функциональные уравнения имеют вид:
F 6 (t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (З))
F 6 (1) = max(7 ; 10 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (2) = max(7 ; 8 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (3) = max(6 ; 8 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (4) = max(6 ; 7 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (5) = max(5 ; 6 - 13 + 8) = 5 (C)
F 6 (6) = max(5 ; 4 - 13 + 8) = 5 (C)
2-й шаг: k = 5. Для 2-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5, а функциональные уравнения имеют вид:
F 5 (t) = max(r(t) + F 6 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 6 (1))
F 5 (1) = max(7 + 7 ; 10 - 13 + 8 + 7) = 14 (C)
F 5 (2) = max(7 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 13 (C)
F 5 (3) = max(6 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 12 (C)
F 5 (4) = max(6 + 5 ; 7 - 13 + 8 + 7) = 11 (C)
F 5 (5) = max(5 + 5 ; 6 - 13 + 8 + 7) = 10 (C)
F 5 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 7) = 6 (З)
3-й шаг: k = 4. Для 3-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4, а функциональные уравнения имеют вид:
F 4 (t) = max(r(t) + F 5 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 5 (1))
F 4 (1) = max(7 + 13 ; 10 - 13 + 8 + 14) = 20 (C)
F 4 (2) = max(7 + 12 ; 8 - 13 + 8 + 14) = 19 (C)
F 4 (3) = max(6 + 11 ; 8 - 13 + 8 + 14) = 17 (C/З)
F 4 (4) = max(6 + 10 ; 7 - 13 + 8 + 14) = 16 (C/З)
F 4 (5) = max(5 + 6 ; 6 - 13 + 8 + 14) = 15 (З)
F 4 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 14) = 13 (З)
4-й шаг: k = 3. Для 4-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3, а функциональные уравнения имеют вид:
F 3 (t) = max(r(t) + F 4 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 4 (1))
F 3 (1) = max(7 + 19 ; 10 - 13 + 8 + 20) = 26 (C)
F 3 (2) = max(7 + 17 ; 8 - 13 + 8 + 20) = 24 (C)
F 3 (3) = max(6 + 16 ; 8 - 13 + 8 + 20) = 23 (З)
F 3 (4) = max(6 + 15 ; 7 - 13 + 8 + 20) = 22 (З)
F 3 (5) = max(5 + 13 ; 6 - 13 + 8 + 20) = 21 (З)
F 3 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 20) = 19 (З)
5-й шаг: k = 2. Для 5-го шага возможные состояния системы t = 1,2, а функциональные уравнения имеют вид:
F 2 (t) = max(r(t) + F 3 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 3 (1))
F 2 (1) = max(7 + 24 ; 10 - 13 + 8 + 26) = 31 (C/З)
F 2 (2) = max(7 + 23 ; 8 - 13 + 8 + 26) = 30 (C)
F 2 (3) = max(6 + 22 ; 8 - 13 + 8 + 26) = 29 (З)
F 2 (4) = max(6 + 21 ; 7 - 13 + 8 + 26) = 28 (З)
F 2 (5) = max(5 + 19 ; 6 - 13 + 8 + 26) = 27 (З)
F 2 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 26) = 25 (З)
6-й шаг: k = 1. Для 6-го шага возможные состояния системы t = 1, а функциональные уравнения имеют вид:
F 1 (t) = max(r(t) + F 2 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 2 (1))
F 1 (1) = max(7 + 30 ; 10 - 13 + 8 + 31) = 37 (C)
F 1 (2) = max(7 + 29 ; 8 - 13 + 8 + 31) = 36 (C)
F 1 (3) = max(6 + 28 ; 8 - 13 + 8 + 31) = 34 (C/З)
F 1 (4) = max(6 + 27 ; 7 - 13 + 8 + 31) = 33 (C/З)
F 1 (5) = max(5 + 25 ; 6 - 13 + 8 + 31) = 32 (З)
F 1 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 31) = 30 (З)
Результаты вычислений по уравнениям Беллмана F k (t) приведены в таблице, в которой k - год эксплуатации, а t - возраст оборудования.
Таблица – Матрица максимальных прибылей
k / t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
1 | 37 | 36 | 34 | 33 | 32 | 30 |
2 | 31 | 30 | 29 | 28 | 27 | 25 |
3 | 26 | 24 | 23 | 22 | 21 | 19 |
4 | 20 | 19 | 17 | 16 | 15 | 13 |
5 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 6 |
6 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 |
В таблице выделено значение функции, соответствующее состоянию (З) - замена оборудования.
При решении данной задачи в некоторых таблицах при оценке выбора нужного управления мы получали одинаковые значения F для обоих вариантов управления. В этом случае, в соответствии с алгоритмом решения подобных задач необходимо выбирать управление сохранения оборудования.
II этап. Безусловная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1).
По условию задачи возраст оборудования равен t 1 =1 годам. Плановый период N=6 лет.
К началу 1-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 1 = t 0 + 1 = 0 + 1 = 1. Прибыль составит F 1 (1)=37.
Оптимальное управление при k = 1, x 1 (1) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 1-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 2-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 2 = t 1 + 1 = 1 + 1 = 2. Прибыль составит F 2 (2)=30.
Оптимальное управление при k = 2, x 2 (2) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 2-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 3-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 3 = t 2 + 1 = 2 + 1 = 3. Прибыль составит F 3 (3)=23.
Безусловное оптимальное управление при k = 3, x 3 (3)=(З), т.е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо в этом году провести замену оборудования.
К началу 4-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 4 = t 3 + 1 = 0 + 1 = 1. Прибыль составит F 4 (1)=20.
Оптимальное управление при k = 4, x 4 (1) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 1-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 5-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 5 = t 4 + 1 = 1 + 1 = 2. Прибыль составит F 5 (2)=13.
Оптимальное управление при k = 5, x 5 (2) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 2-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 6-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 6 = t 5 + 1 = 2 + 1 = 3. Прибыль составит F 6 (3)=6.
Оптимальное управление при k = 6, x 6 (3) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 3-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
F 1 (1) → (C) → F 2 (2) → (C) → F 3 (3) → (З) → F 4 (1) → (C) → F 5 (2) → (C) → F 6 (3) → (C) →
Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести в начале 3-го года эксплуатации
Пример №2
. Задача планирования капитальных вложений. Интервал планирования Т=5 лет. Функция затрат на ремонт и дальнейшую эксплуатацию K(t)=t+2t 2 (р.); функция замены P(t)=10+0.05t 2 (р.). Определить оптимальную стратегию замены и ремонта для нового оборудования (t=0) и оборудования возраста t=1, t=2, t=3.
Определить оптимальные планируемые затраты по годам пятилетки, если количество оборудования по возрастным группам следующие: n(t=0)=10, n(t=1)=12, n(t=2)=8, n(t=3)=5