3 закона сохранения импульса и энергии. Физика
Работа и энергия. Законы сохранения энергии и импульса
Работа и мощность
Закон сохранения импульса.
Энергия. Потенциальная и кинетическая энергии. Закон сохранения энергии.
Работа и мощность
Когда под действием некоторой силы тело совершает перемещение, то действие силы характеризуется величиной, которая называется механической работой.
Механическая работа - мера действия силы, в результате которого тела совершают перемещение.
Работа постоянной силы. Если тело движется прямолинейно под действием постоянной силы, составляющей некоторый угол с направлением перемещения (рис.1), работа равна произведению этой силы на перемещение точки приложения силы и на косинус угла между векторами и; или работа равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:
Работа переменной силы. Чтобы найти работу переменной силы, пройденный путь разбивают на большое число малых участков так, чтобы их можно было считать прямолинейными, а действующую в любой точке данного участка силу - постоянной.
Элементарная работа (т.е. работа на элементарном участке) равна , а вся работа переменной силы на всем пути S находится интегрированием: .
В качестве примера работы переменной силы рассмотрим работу, совершаемую при деформации (растяжении) пружины, подчиняющейся закону Гука.
Если начальная деформация x 1 =0, то.
При сжатии пружины совершается такая же работа.
Г
рафическое
изображение работы (рис.3).
На графиках работа численно равна площади заштрихованных фигур.
Для характеристики быстроты совершения работы вводят понятие мощности.
Мощность постоянной силы численно равна работе, совершаемой этой силой за единицу времени.
1 Вт- это мощность силы, которая за 1 с совершает 1 Дж работы.
В случае переменной мощности (за малые одинаковые промежутки времени совершается различная работа) вводится понятие мгновенной мощности:
где скорость точки приложения силы.
Т.о. мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки её приложения.
2. Закон сохранения импульса.
Механической системой называется совокупность тел, выделенная для рассмотрения. Тела, образующие механическую систему, могут взаимодействовать, как между собой, так и с телами, не принадлежащими данной системе. В соответствие с этим силы, действующие на тела системы, подразделяют на внутренние и внешние.
Внутренними называются силы, с которыми тела системы взаимодействуют между собой
Внешними называются силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих данной системе.
Замкнутой (или изолированной) называется система тел, на которую не действуют внешние силы.
Для замкнутых систем оказываются неизменными (сохраняются) три физических величины: энергия, импульс и момент импульса. В соответствии с этим имеют место три закона сохранения: энергии, импульса, момента импульса.
Р
ассмотрим
систему, состоящую из 3-х тел, импульсы
которых
и на которые действуют внешние силы
(рис. 4).Согласно 3 закону
Ньютона, внутренние силы попарно равны
и противоположно направлены:
Внутренние силы:
Запишем основное уравнение динамики для каждого из этих тел и сложим почленно эти уравнения
Для N тел:
.
Сумма импульсов тел, составляющих механическую систему, называется импульсом системы:
Т.о., производная по времени импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему,
Для
замкнутой системы 
.
Закон сохранения импульса : импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным.
Из этого закона следует неизбежность отдачи при стрельбе из любого орудия. Пуля или снаряд в момент выстрела получают импульс, направленный в одну сторону, а винтовка или орудие получают импульс, направленный противоположно. Для уменьшения этого эффекта применяют специальные противооткатные устройства, в которых кинетическая энергия орудия превращается в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию противооткатного устройства.
Закон сохранения импульса лежит в основе движения судов (подводных лодок) при помощи гребных колес и винтов, и водометных судовых двигателей (насос всасывает забортную воду и отбрасывает ее за корму). При этом некоторое количество воды отбрасывается назад, унося с собой определенный импульс, а судно приобретает такой же импульс, направленный вперед. Этот же закон лежит в основе реактивного движения.
Абсолютно неупругий удар - столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. При таком ударе механическая энергия частично или полностью переходит во внутреннюю энергию соударяющихся тел, т.е. закон сохранения энергии не выполняется, выполняется только закон сохранения импульса.
Теория абсолютно упругих и абсолютно неупругих ударов используется в теоретической механике для расчета напряжений и деформаций, вызванных в телах ударными силами. При решении многих задач удара часто опираются на результаты разнообразных стендовых испытаний, анализируя и обобщая их. Теория удара широко используется при расчетах взрывных процессов; применяется в физике элементарных частиц при расчетах столкновений ядер, при захвате частиц ядрами и в других процессах.
Большой вклад в теорию удара внёс российский академик Я.Б.Зельдович, который, разрабатывая в 30-х годах физические основы баллистики ракет, решил сложную задачу удара тела, летевшего с большой скоростью по поверхности среды.
3.Энергия. Потенциальная и кинетическая энергия. Закон сохранения энергии.
Все введенные ранее величины характеризовали только механическое движение. Однако форм движения материи много, постоянно происходит переход от одной формы движения к другой. Необходимо ввести физическую величину, характеризующую движение материи во всех формах её существования, с помощью которой можно было бы количественно сравнивать различные формы движения материи.
Энергия - мера движения материи во всех её формах. Основное свойство всех видов энергии - взаимопревращаемость. Запас энергии, которой обладает тело, определяется той максимальной работой, которую тело может совершать, израсходовав свою энергию полностью. Энергия численно равна максимальной работе, которую тело может совершить, и измеряется в тех же единицах, что и работа. При переходе энергии из одного вида в другой нужно подсчитать энергию тела или системы до и после перехода и взять их разность. Эту разность принято называть работой:
Т. о., физическая величина, характеризующая способность тела совершать работу, называется энергией.
Механическая энергия тела может быть обусловлена либо движением тела с некоторой скоростью, либо нахождением тела в потенциальном поле сил.
Кинетическая энергия.
Энергия, которой обладает тело вследствие своего движения, называется кинетической. Работа, совершенная над телом, равна приращению его кинетической энергии.
Найдем эту работу для случая, когда равнодействующая всех приложенных к телу сил равна .
Работа, совершенная телом за счет кинетической энергии, равна убыли этой энергии.
Потенциальная энергия.
Если в каждой точке пространства на тело воздействуют другие тела с силой, величина которой может быть различна в разных точках, говорят, что тело находится в поле сил или силовом поле.
Если линии действия всех этих сил проходит через одну точку - силовой центр поля, - а величина силы зависит только от расстояния до этого центра, то такие силы называются центральными, а поле таких сил - центральным (гравитационное, электрическое поле точечного заряда).
Поле постоянных во времени сил называется стационарным.
Поле, в котором линии действия сил - параллельные прямые, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга - однородное.
Все силы в механике подразделяются на консервативные и неконсервативные (или диссипативные).
Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела в пространстве, называются консервативными.
Работа консервативных сил по замкнутому пути равна нулю. Все центральные силы являются консервативными. Силы упругой деформации также являются консервативными силами. Если в поле действуют только консервативные силы, поле называется потенциальными (гравитационные поля).
Силы, работа которых зависит от формы пути, называются неконсервативными (силы трения).
Потенциальной энергией называют часть общей механической энергии системы, которая определяется только взаимным расположением тел, составляющих систему, и характером сил взаимодействия между ними. Потенциальная энергия - это энергия, которой обладают тела или части тела вследствие их взаимного расположения.
Понятие потенциальной энергии вводится следующим образом. Если тело находится в потенциальном поле сил (например, в гравитационном поле Земли), каждой точке поля можно сопоставить некоторую функцию (называемую потенциальной энергией) так, чтобы работа А 12 , совершаемая над телом силами поля при его перемещении из произвольного положения 1 в другое произвольное положение 2, была равна убыли этой функции на пути 12:
где и значения потенциальной энергии системы в положениях 1 и 2.
З
аписанное
соотношение позволяет определить
значение потенциальной энергии с
точностью до некоторой неизвестной
аддитивной постоянной. Однако, это
обстоятельство не имеет никакого
значения, т.к. во все соотношения входит
только разность потенциальных энергий,
соответствующих двум положениям тела.
В каждой конкретной задаче уславливаются
считать потенциальную энергию какого-то
определенного положения тела равной
нулю, а энергию других положений брать
по отношению к нулевому уровню. Конкретный
вид функции
зависит от характера силового поля и
выбора нулевого уровня. Поскольку
нулевой уровень выбирается произвольно,
может иметь отрицательные значения.
Например, если принять за нуль потенциальную
энергию тела, находящегося на поверхности
Земли, то в поле сил тяжести вблизи
земной поверхности потенциальная
энергия тела массой m,
поднятого на высоту h
над поверхностью, равна
(рис. 5).
где - перемещение тела под действием силы тяжести;
Потенциальная энергия этого же тела, лежащего на дне ямы глубиной H, равна
В рассмотренном примере речь шла о потенциальной энергии системы Земля-тело.
Потенциальной энергией может обладать не только система взаимодействующих тел, но отдельно взятое тело. В этом случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения частей тела.
Выразим потенциальную энергию упруго деформированного тела.
Потенциальная энергия упругой деформации, если принять, что потенциальная энергия недеформированного тела равна нулю;
где k - коэффициент упругости, x - деформация тела.
В общем случае тело одновременно может обладать и кинетической и потенциальной энергиями. Сумма этих энергий называется полной механической энергией тела:
Полная механическая энергия системы равна сумме её кинетической и потенциальной энергий. Полная энергия системы равна сумме всех видов энергии, которыми обладает система.
Закон сохранения энергии - результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит Ломоносову, изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка дана немецким врачом Майером и естествоиспытателем Гельмгольцем.
Закон сохранения механической энергии : в поле только консервативных сил полная механическая энергия остается постоянной в изолированной системе тел. Наличие диссипативных сил (сил трения) приводит к диссипации (рассеянию) энергии, т.е. превращению её в другие виды энергии и нарушению закона сохранения механической энергии.
Закон сохранения и превращения полной энергии : полная энергия изолированной системы есть величина постоянная.
Энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, а лишь превращается из одного вида в другой в эквивалентных количествах. В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии: неуничтожимость материи и её движения.
Законы сохранения как отражение симметрии в физике
Закон >> ФизикаРезультаты теоремы Нетер, в работе получены динамические законы сохранения энергии , импульса и момента импульса . Показано также, что... теоремы Нетер, в работе получены динамические законы сохранения энергии , импульса и момента импульса . Показано также, что...
Законы сохранения энергии в макроскопических процессах
Закон >> БиологияЧто полная энергия системы в процессе движения остается неизменной. Закон сохранения импульса является следствием трансляционной...
Закон сохранения импульса
Контрольная работа >> ФизикаВнешние силы), то суммарный импульс системы остается постоянным - закон сохранения импульса . У системы материальных точек... . Полное изменение кинетической энергии i - точки в соответствии с выражением (6-15) определяется работой
8.3. Закон сохранения момента импульса. Уравнение моментов
Известно, что моментом импульса (моментом количества движения) материальной точки называется векторная физическая величина, численно равная произведению ее импульса (количества движения) на плечо, т.е. на кратчайшее расстояние от направления импульса до оси (или центра) вращения:
L i = m i v i r i = m i ω i r i r i = m i r i 2 ω i = I i ω, (8.22)
где I i - момент инерции материальной точки относительно выбранной оси (выбранного центра) вращения;
ω - угловая скорость материальной точки.
В векторной форме
L i = I i ω или L = [r p ]. (8.23)
Момент импульса твердого тела (системы) относительно выбранной оси (или центра) вращения равен сумме моментов импульса отдельно взятых материальных точек тела (тел системы) относительно той же оси (того же центра) вращения. При этом
L = Iω , (8.24)
где - момент инерции тела (системы);
ω - угловая скорость.
Основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки имеет вид
,
(8.25)
где L i - момент импульса материальной точки относительно начала координат;
-
суммарный вращающий момент, действующий
на
i-ю
материальную точку;
-
результирующий момент всех внутренних
сил, действующих на материальную точку;
-
результирующий момент всех внешних
сил, действующих на материальную точку.
Для тела, состоящего из n материальных точек (системы из n тел):
.
(8.26)
Так
как
-момент
всех внутренних сил равен нулю, то
или
,
(8.27)
где L 0 - момент импульса тела (системы) относительно начала координат;
M вн - суммарный вращающий момент внешних сил, действующих на тело (систему).
Из (8.27) следует, что момент импульса тела (системы) может изменяться под действием момента внешних сил, а скорость его изменения равна суммарному вращающему моменту внешних сил, действующих на тело (систему).
Если M вн = 0, то
,
а L
0
= const.
(8.28)
Таким образом, если на тело (замкнутую систему) не действует внешний вращающий момент, то его момент импульса остается величиной постоянной. Данное утверждение и называют законом сохранения момента импульса .
Для реальных систем закон сохранения момента импульса можно записать так
,
а L
0 x
= const.
(8.29)
Из закона сохранения момента импульса следует: если тело не вращалось
(ω = 0), то при M = 0 оно и не придет во вращение; если тело совершало вращательное движение, то при M = 0, оно будет совершать равномерное вращательное движение.
Уравнения
,
называют уравнениями
моментов
,
соответственно для тела (системы) или
материальной точки.
Уравнение моментов указывает, как изменяется момент импульса под действием сил. Так как dL 0 = M ∙dt, то момент сил, совпадающий по направлению с моментом импульса, увеличивает его. Если же момент сил направлен навстречу моменту импульса, то последний уменьшается.
Уравнение моментов справедливо для любой произвольно выбранной неподвижной оси вращения.
Приведем несколько примеров:
а) когда кошка неожиданно для себя падает с большой высоты, она усиленно вращает хвостом в ту или иную сторону, добиваясь оптимального разворота своего тела для благоприятного приземления;
б)
человек перемещается по краю круглой,
свободно вращающейся платформы: пусть
моменты импульса платформы и человека
соответственно равны
и
,
тогда, принимая систему замкнутой,
получим
,
,
.
Т.е. угловые скорости вращения этих тел вокруг их общей оси будут обратны по знаку, а по величине – обратно пропорциональны их моментам инерции;
в) опыт со скамьей Жуковского. Человек, находящийся посередине скамьи и вращающийся вместе с платформой, притягивает к себе грузы. Пренебрегая трением в опорных подшипниках, считаем момент силы равным нулю:
,
,
.
,
.
При
,
,
если же
,
то
;
г)при фигурном катании на коньках спортсмен, выполняя вращение, складывается и при этом ускоряет свое вращение;
д)
гироскопы
-
устройства, принцип действия которых
основан на законе сохранения момента
импульса тела:
.
Предназначены для фиксирования
первоначально заданного направления
в пространстве на объекте, который
перемещается в произвольном направлении
и неравномерно (космические ракеты,
танки и др.).
Начну с пары определений, без знания которых дальнейшее рассмотрение вопроса будет бессмысленным.
Сопротивление, которое оказывает тело при попытке привести его в движение или изменить его скорость, называется инертностью.
Мера инертности – масса .
Таким образом можно сделать следующие выводы:
- Чем больше масса тела, тем большее оно оказывает сопротивление силам, которые пытаются вывести его из состояния покоя.
- Чем больше масса тела, тем большее оно оказывает сопротивление силам, которые пытаются изменить его скорость в случае, если тело движется равномерно.
Резюмируя можно сказать, что инертность тела противодействует попыткам придать телу ускорение. А масса служит показателем уровня инертности. Чем больше масса, тем большую силу нужно применить для воздействия на тело, чтобы придать ему ускорение.
Замкнутая система (изолированная) – система тел, на которую не оказывают влияние другие тела не входящие в эту систему. Тела в такой системе взаимодействуют только между собой.
Если хотя бы одно из двух условий выше не выполняется, то систему замкнутой назвать нельзя. Пусть есть система, состоящая из двух материальных точек, обладающими скоростями и соответственно. Представим, что между точками произошло взаимодействие, в результате которого скорости точек изменились. Обозначим через и приращения этих скоростей за время взаимодействия между точками . Будем считать, что приращения имеют противоположные направления и связаны соотношением 
. Мы знаем, что коэффициенты и не зависят от характера взаимодействия материальных точек — это подтверждено множеством экспериментов. Коэффициенты и являются характеристиками самих точек. Эти коэффициенты называются массами (инертными массами). Приведенное соотношения для приращения скоростей и масс можно описать следующим образом.
Отношение масс двух материальных точек равно отношению приращений скоростей этих материальных точек в результате взаимодействия между ними.
Представленное выше соотношение можно представить в другом виде. Обозначим скорости тел до взаимодействия как и соответственно, а после взаимодействия — и . В этом случае приращения скоростей могут быть представлены в таком виде — и . Следовательно, соотношение можно записать так — .
Импульс (количество энергии материальной точки) – вектор равный произведению массы материальной точки на вектор ее скорости —
Импульс системы (количество движения системы материальных точек) – векторная сумма импульсов материальных точек, из которых эта система состоит — .
Можно сделать вывод, что в случае замкнутой системы импульс до и после взаимодействия материальных точек должен остаться тем же — , где и . Можно сформулировать закон закон сохранения импульса.
Импульс изолированной системы остается постоянным во времени, независимо от взаимодействия между ними.
Необходимое определение:
Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от траектории, а обусловлена только начальными и конечными координатами точки.
Формулировка закона сохранения энергии:
В системе, в которой действуют только консервативные силы, полная энергия системы остается неизменной. Возможны лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
Потенциальная энергия материальной точки является функцией только координат этой точки. Т.е. потенциальная энергия зависит от положения точки в системе. Таким образом силы , действующие на точку, можно определить так: можно определить так: . – потенциальная энергия материальной точки. 
Помножим обе части на и получим 
. Преобразуем и получим выражение доказывающее закон сохранения энергии
. 
Упругие и неупругие столкновения
Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого они соединяются и далее двигаются как одно целое.
Два шара , с и испытывают абсолютно неупругий дар друг с другом. По закону сохранения импульса . Отсюда можно выразить скорость двух шаров, двигающихся после соударения как единое целое — 
. Кинетические энергии до и после удара: 
и 
. Найдем разность
,
где – приведенная масса шаров . Отсюда видно, что при абсолютно неупругом столкновении двух шаров происходит потеря кинетической энергии макроскопического движения. Эта потеря равна половине произведения приведенной массы на квадрат относительной скорости.
Решение многих практических задач значительно упрощается, если воспользоваться законами сохранения — законом сохранения импульса и законом сохранения и превращения энергии, ведь эти законы можно использовать и тогда, когда силы, действующие в системе, неизвестны. Итак, вспомним виды механической энергии и решим несколько задач на применение законов сохранения.
Вспоминаем о механической энергии
Энергия (от греч. «деятельность») — это физическая величина, которая является общей мерой движения и взаимодействия всех видов материи.
Энергию обозначают символом E (или W). Единица энергии в СИ — джоуль:
В механике мы имеем дело с механической энергией.
механическая энергия — это физическая величина, которая является мерой движения и взаимодействия тел и характеризует способность тел выполнять механическую работу.
Виды механической энергии
Сумма кинетической и потенциальной энергий тела (системы тел) — это полная механическая энергия тела (системы тел): E = E k + E p
Изучая механическую энергию в курсе физики 7 класса, вы узнали о том, что, когда система тел замкнута, а тела системы взаимодействуют друг с другом только силами упругости и силами тяготения, полная механическая энергия системы не изменяется.
В этом состоит закон сохранения и превращения механической энергии, который математически можно записать так:
где E k0 + E p0 — полная механическая энергия системы тел в начале наблюдения; E k + E p — полная механическая энергия системы тел в конце наблюдения.
Вспоминаем алгоритм решения задач на закон сохранения механической энергии
Алгоритм решения задач с применением закона сохранения механической энергии
1. Прочитайте условие задачи. Определите, является ли система замкнутой, можно ли пренебречь действием сил сопротивления. Запишите краткое условие задачи.
2. Выполните пояснительный рисунок, на котором укажите нулевой уровень, начальное и конечное состояния тела (системы тел).
3. Запишите закон сохранения и превращения механической энергии. Конкретизируйте эту запись, используя данные задачи и соответствующие формулы для расчета энергии.
4. Решите полученное уравнение относительно неизвестной величины. Проверьте ее единицу и найдите числовое значение.
5. Проанализируйте результат, запишите ответ.
Закон сохранения механической энергии значительно упрощает решение многих практических задач. Рассмотрим алгоритм решения таких задач на конкретном примере.
Задача 1. Участник аттракциона по бан-джи-джампингу прыгает с моста (см. рисунок).
Какова жесткость резинового каната, к которому привязан спортсмен, если во время падения шнур растянулся от 40 до 100 м? Масса спортсмена 72 кг, начальная скорость его движения равна нулю. Сопротивление воздуха не учитывайте.
Анализ физической проблемы. Сопротивление воздуха не учитываем, поэтому систему тел «Земля — человек — шнур» можно считать замкнутой и для решения задачи воспользоваться законом сохранения механической энергии: в начале прыжка спортсмен имеет потенциальную энергию поднятого тела, в самой низкой точке эта энергия преобразуется в потенциальную энергию деформированного шнура.
Поиск математической модели, решение Выполним рисунок, на котором укажем начальное и конечное положения спортсмена. За нулевой уроень выберем самое низкое положение спортсмена (шнур растянут максимально, скорость движения спортсмена равна нулю). Запишем закон сохранения механической энергии.
Применяем закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса одновременно
Играли ли вы в бильярд? Один из видов столкновения бильярдных шаров — упругий центральный удар — столкновение, при котором потери механической энергии отсутствуют, а скорости движения шаров до и после удара направлены вдоль прямой, проходящей через центры шаров.
Задача 2. Шар, двигавшийся по бильярдному столу со скоростью 5 м/с, сталкивается с неподвижным шаром такой же массы (см. рисунок). Определите скорости шаров после столкновения. Удар считайте упругим центральным.
Анализ физической проблемы. Систему двух шаров можно считать замкнутой, удар упругий центральный, значит, потери механической энергии отсутствуют. Следовательно, для решения задачи можно использовать и закон сохранения механической энергии, и закон сохранения импульса. За нулевой уровень выберем поверхность стола. Поскольку потенциальные энергии шаров до и после удара равны нулю, полная механическая энергия системы равна сумме кинетических энергий шаров.
Запишем для системы двух шаров закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии, учитывая, что v 02 = 0:
Поиск математической модели, решение.Выполним рисунок, на котором укажем положение шаров до и после удара.
Анализ результатов. Видим, что шары «обменялись» скоростями: шар 1 остановился, а шар 2 приобрел скорость шара 1 до столкновения. Заметим: при упругом центральном ударе двух тел одинаковой массы эти тела «обмениваются» скоростяминезависимо от того, какими были начальные скорости движения тел.
Применяем закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса поочередно
Если вам интересно, с какой скоростью вылетает стрела из лука или какова скорость движения пули пневматической винтовки, может помочь баллистический маятник— тяжелое тело, подвешенное на металлических стержнях. Узнаем, как с помощью этого устройства определить скорость движения пули.
Задача 3. Пуля массой 0,5 г попадает в подвешенный на стержнях деревянный брусок массой 300 г и застревает в нем. Определите, с какой скоростью двигалась пуля, если после попадания пули брусок поднялся на высоту 1,25 см (см. рисунок).
Анализ физической проблемы. При попадании пули в брусок последний приобретает скорость. Время проникновения пули в брусок мало, поэтому в это время систему «пуля — брусок» можно считать замкнутой и воспользоваться законом сохранения импульса. А вот законом сохранения механической энергии воспользоваться нельзя, так как присутствует сила трения.
Когда пуля остановила свое движение внутри бруска и он начал отклоняться, то действием силы сопротивления воздуха можно пренебречь и воспользоваться законом сохранения механической энергии для системы «Земля — брусок». А вот импульс бруска будет уменьшаться, поскольку часть импульса передается Земле.
Поиск математической модели, решение Запишем закон сохранения импульса для положений 1 и 2 (см. рисунок), приняв во внимание, что в положении 1 брусок находится в покое, а в положении 2 брусок и пуля движутся вместе:
Запишем закон сохранения механической энергии для положений 2 и 3 и конкретизируем его:
Подставив выражение для скорости (2) в формулу (1), получим формулу для определения скорости движения тела с помощью баллистического маятника:
Проверим единицу, найдем значение искомой величины:
Вместо итогов
Мы рассмотрели лишь несколько примеров решения задач. На первый взгляд кажется, что и импульс, и механическая энергия сохраняются не всегда. Что касается импульса — это не так. Закон сохранения импульса — это всеобщий закон Вселенной. А якобы «появление» импульса
(см. задачу 1 в § 38) и его «исчезновение» (см. задачу 3 в § 38, положения тел 2 и 3) объясняются тем, что Земля тоже получает импульс. Именно поэтому, решая задачи, мы «ищем» замкнутую систему.
Механическая энергия действительно сохраняется не всегда: система может получить дополнительную механическую энергию, если внешние силы выполнят положительную работу (например, вы бросили мяч); система может потерять часть механической энергии, если внешние силы выполнят отрицательную работу (например, велосипед остановился из-за действия силы трения). Однако полная энергия (сумма энергий тел системы и частиц, из которых эти тела состоят) всегда остается неизменной. Закон сохранения энергии — это всеобщий закон Вселенной.
Упражнение № 38
Выполняя задания 2-4, сопротивлением воздуха следует пренебречь.
1. Груз массой 40 кг сбросили с самолета. После того как на высоте 400 м скорость движения груза достигла 20 м/с, он начал двигаться равномерно. Определите: 1) полную механическую энергию груза на высоте 400 м; 2) полную механическую энергию груза в момент приземления; 3) энергию, в которую преобразовалась часть механической энергии груза.
2. Шарик бросили горизонтально с высоты 4 м со скоростью 8 м/с. Определите скорость движения шарика в момент падения. Решите задачу двумя способами: 1) рассмотрев движение шарика как движение тела, брошенного горизонтально; 2) воспользовавшись законом сохранения механической энергии. Какой способ в данном случае удобнее?
3. Пластилиновый шарик 1 массой 20 г и втрое больший по массе шарик 2 подвешены на нитях. Шарик 1 отклонили от положения равновесия на высоту 20 см и отпустили.
Шарик 1 столкнулся с шариком 2 и прилип к нему (рис. 1). Определите: 1) скорость движения шарика 1 до столкновения; 2) скорость движения шариков после столкновения; 3) максимальную высоту, на которую поднимутся шарики после столкновения.
4. Шарик массой 10 г вылетает из пружинного пистолета, попадает в центр пластилинового бруска, подвешенного на нитях, и прилипает к нему. На какую высоту поднимется брусок, если перед выстрелом пружина была сжата на 4 см, жесткость пружины — 256 Н/м, а масса бруска — 30 г?
Экспериментальное задание
«Баллистический маятник». Изготовьте баллистический маятник (рис. 2).
Возьмите бумажную коробку и вылепите из пластилина еще одну коробку, немного меньшую по размеру. Вставьте пластилиновую коробку в бумажную и подвесьте устройство на нитях.
Испытайте устройство, измерив, например, скорость движения шарика детского пружинного пистолета. Для расчетов воспользуйтесь формулой, полученной при решении задачи 3 в § 38.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7
Тема. Изучение закона сохранения механической энергии.
Цель: убедиться на опыте, что полная механическая энергия замкнутой системы тел остается неизменной, если в системе действуют только силы тяжести и силы упругости.
Оборудование: штатив с муфтой и лапкой,
динамометр, набор грузов, линейка длиной 4050 см, резиновый шнур длиной 15 см с указателем и петельками на концах, карандаш, прочная нить.
теоретические сведения
Для выполнения работы можно использовать экспериментальную установку, изображенную на рис. 1. Отметив на линейке положение указателя при ненагруженном шнуре (отметка 0), к петельке шнура подвешивают груз. Груз оттягивают вниз (положение 1), придав шнуру некоторое удлинение (рис. 2). В положении 1 полная механическая энергия системы «шнур — груз — Земля» равна потенциальной энергии растянутого шнура:
где F 1 = kx 1 — модуль силы упругости шнура при его растяжении на x 1 .
Затем груз отпускают и отмечают положение указателя в момент, когда груз достигнет максимальной высоты (положение 2). В этом положении полная механическая энергия системы равна сумме потенциальной энергии поднятого на высоту h груза и потенциальной энергии растянутого шнура:
указания к работе
подготовка к эксперименту
1. Прежде чем приступить к выполнению работы, вспомните:
1) требования безопасности при выполнении лабораторных работ;
2) закон сохранения полной механической энергии.
2. Проанализируйте формулы (1) и (2). Какие измерения следует выполнить, чтобы определить полную механическую энергию системы в положении 1; в положении 2? Составьте план проведения эксперимента.
3. Соберите установку, как показано на рис. 1.
4. Потянув за нижнюю петельку шнура вертикально вниз, выпрямите шнур, не натягивая его. Обозначьте на линейке карандашом положение указателя при ненагруженном шнуре и поставьте отметку 0.
Эксперимент
Строго придерживайтесь инструкции по безопасности (см. форзац).
Результаты измерений сразу заносите в таблицу.
1. Определите с помощью динамометра вес P груза.
2. Подвесьте груз к петельке. Оттянув груз вниз, отметьте на линейке положение 1 указателя, возле отметки поставьте цифру 1.
3. Отпустите груз. Заметив положение указателя в момент, когда груз достиг наибольшей высоты (положение 2), поставьте в соответствующем месте отметку 2. Обратите внимание: если отметка 2 будет выше отметки 0, опыт необходимо повторить, уменьшив растяжение шнура и соответственно изменив расположение отметки 1.
4. Измерьте силы упругости F 1 и F 2 , возникающие в шнуре при его растяжении на x 1 и x 2 соответственно. Для этого снимите груз и, зацепив петельку шнура крючком динамометра, растяните шнур сначала до отметки 1, а затем до отметки 2.
5. Измерив расстояния между соответствующими отметками, определите удлинения x 1 и x 2 шнура, а также максимальную высоту h подъема груза (см. рис. 2).
6. Повторите действия, описанные в пунктах 1-5, подвесив на шнур два груза вместе.
Обработка результатов эксперимента
1. Для каждого опыта определите:
1) полную механическую энергию системы в положении 1;
2) полную механическую энергию системы в положении 2.
2. Закончите заполнение таблицы.
Анализ результатов эксперимента
Проанализируйте эксперимент и его результаты. Сформулируйте вывод, в котором: 1) сравните полученные вами значения полной механической энергии системы в положении 1; в положении 2; 2) укажите причины возможного расхождения результатов; 3) укажите физические величины, измерение которых, на ваш взгляд, дало наибольшую погрешность.
Задание «со звездочкой»
По формуле
эксперимента.
Творческое задание
Возьмите небольшой шарик на длинной прочной нити. К нити привяжите резиновый шнур и закрепите его так, чтобы шарик висел на расстоянии 20-30 см от пола. Потяните шарик вниз и измерьте удлинение шнура. Отпустив шарик, измерьте высоту, на которую он поднялся. Определите жесткость шнура и вычислите данную высоту теоретически. Сравните результат вычисления с результатом эксперимента. В чем возможные причины расхождений?
Это материал учебника
Е полн =Е кин + U
Е кин = mv 2 /2 + Jw 2 /2 – кинетическая энергия поступательного и вращательного движения,
U = mgh – потенциальная энергия тела массы m на высоте h над поверхностью Земли.
F тр = кN – сила трения скольжения, N – сила нормального давления, к – коэффициент трения.
В случае нецентрального удара закон сохранения импульса
Sр i = constзаписывается в проекциях на оси координат.
Закон сохранения момента импульса и закон динамики вращательного движения
SL i = const– закон сохранения момента импульса,
L ос = Jw - осевой момент импульса,
L орб = [rp ] –орбитальный момент импульса,
dL/dt=SM внеш – закон динамики вращательного движения,
М = [rF ] = rFsina – момент силы, F – сила, a - угол между радиусом – вектором и силой.
А = òМdj - работа при вращательном движении.
Раздел механика
Кинематика
Задача
Задача. Зависимость пройденного телом пути от времени даётся уравнением s = A–Bt+Ct 2 . Найти скорость и ускорение тела в момент времени t.
Пример решения
v = ds/dt = -B + 2Ct , a = dv/dt =ds 2 /dt 2 = 2C.
Варианты
1.1. Зависимость пройденного телом пути от времени дается
уравнением s = A + Bt + Ct 2 , где А = 3м, В = 2 м/с, С = 1 м/с 2 .
Найти скорость за третью секунду.
2.1. Зависимость пройденного телом пути от времени дается
уравнением s= A+Bt+Ct 2 +Dt 3 , где С = 0,14м/с 2 и D = 0,01 v/c 3 .
Через сколько времени после начала движения ускорение тела
будет равно 1 м/с 2 .
3.1.Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости
20 рад/c через N = 10 оборотов после начала движения. Найти
угловое ускорение колеса.
4.1.Колесо радиусом 0,1 м вращается так, что зависимость угла
j =А +Bt +Ct 3 , где В=2 рад/с и С = 1рад/с 3 . Для точек, лежащих
на ободе колеса, найти через 2 с после начала движения:
1) угловую скорость, 2) линейную скорость, 3) угловое
ускорение, 4) тангенциальное ускорение.
5.1.Колесо радиусом 5 см вращается так, что зависимость угла
поворота радиуса колеса от времени дается уравнением
j =А +Bt +Ct 2 +Dt 3 , где D = 1 рад/с 3 . Найти для точек, лежащих
на ободе колеса изменение тангенциального ускорения за
каждую секунду движения.
6.1.Колесо радиусом 10 см вращается так, что зависимость
линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, от
времени дается уравнением v = At +Bt 2 , где А = 3 см/с 2 и
В = 1 см/с 3 . Найти угол, составляемый вектором полного
ускорения с радиусом колеса в момент времени t = 5с после
начала движения.
7.1.Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса
колеса от времени дается уравнением j =А +Bt +Ct 2 +Dt 3 , где
В = 1 рад/с, С =1 рад/с 2 ,D = 1 рад/с 3 . Найти радиус колеса,
если известно, что к концу второй секунды движения
нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса равно
а n = 346 м/с 2 .
8.1.Радиус вектор материальной точки изменяется со временем по
закону R =t 3 I + t 2 j. Определите для момента времени t = 1 с:
модуль скорости и модуль ускорения.
9.1.Радиус вектор материальной точки изменяется со временем по
закону R =4t 2 I + 3t j +2к. Запишите выражение для вектора
скорости и ускорения. Определите для момента времени t = 2 с
модуль скорости.
10.1.Точка движется в плоскости ху из положения с координатами
х 1 = у 1 = 0 со скоростью v = Ai +Bxj . Определить уравнение
траектории точки у(х) и форму траектории.
Момент инерции
расстоянии L/3 от начала стержня.
Пример решения.
M - масса стержня J = J ст + J гр
L – длина стержня J ст1 = mL 2 /12 – момент инерции стержня
2m – масса грузика относительно его центра. По теореме
Штайнера находим момент инерции
J = ? стержня относительно оси о, отстоящей от центра на расстояние а = L/2 – L/3 = L/6.
J ст = mL 2 /12 + m(L/6) 2 = mL 2 /9.
Согласно принципу суперпозиции
J = mL 2 /9 + 2m(2L/3) 2 = mL 2 .
Варианты
1.2. Определить момент инерции стержня массой 2m относительно оси, отстоящей от начала стержня на расстояние L/4. На конце стержня сосредоточенная масса m.
2.2.Определить момент инерции стержня массой m относительно
оси, отстоящей от начала стержня на расстояние L/5. На конце
стержня сосредоточенная масса 2m.
3.2. Определить момент инерции стержня массой 2m относительно оси, отстоящей от начала стержня на расстояние L/6. На конце стержня сосредоточенная масса m.
4.2. Определить момент инерции стержня массой 3m относительно оси, отстоящей от начала стержня на расстояние L/8. На конце стержня сосредоточенная масса 2m.
5.2. Определить момент инерции стержня массой 2m относительно оси, проходящей через начало стержня. К концу и середине стержня прикреплены сосредоточенные массы m.
6.2. Определить момент инерции стержня массой 2m относительно оси, проходящей через начало стержня. К концу стержня прикреплена сосредоточенная масса 2m, а к середине прикреплена сосредоточенная масса 2m.
7.2. Определить момент инерции стержня массой m относительно оси, отстоящей от начала стержня на L/4. К концу и середине стержня прикреплены сосредоточенные массы m.
8.2. Найти момент инерции тонкого однородного кольца массы m и радиусом r относительно оси, лежащей в плоскости кольца и отстоящей от его центра на r/2.
9.2. Найти момент инерции тонкого однородного диска массы m и радиусом r относительно оси, лежащей в плоскости диска и отстоящей от его центра на r/2.
10.2. Найти момент инерции однородного шара массы m и радиусом
r относительно оси, отстоящей от его центра на r/2.