Наша молодая пара отсутствовала более двух месяцев. Вернувшись на остров, они сразу отправились к Волшебнику.

— С возвращением! — сказал Волшебник.

— Так вы хотите узнать что-нибудь о бесконечности?

— У вас хорошая память, — ответила Аннабел.

— Ну и хорошо, — не стал возражать Волшебник. — Первое, что нам нужно сделать, — это тщательно определить наши термины. Что именно вы понимаете под словом «бесконечное»?

— Для меня оно означает отсутствие конца, — сказал Александр.

— Я бы сказала то же самое, — подтвердила Аннабел.

— Это не вполне удовлетворительно, — сказал Волшебник. — У круга нет ни начала, ни конца, и все же вы не сказали бы, что он бесконечен: он имеет лишь конечную длину, хотя и содержит бесконечное множество точек. Я хочу говорить о бесконечности в точном смысле, используемом математиками. Конечно, этому слову есть и другие применения. Например, теологи часто ссылаются на бесконечность Бога, хотя некоторые из них достаточно честны, чтобы признать, что по отношению к Богу это слово применяется не в таком смысле, как к чему-то другому. Я не хочу третировать теологическое или любое другое нематематическое применение этого слова, но я хочу ясно дать понять, что предмет нашего обсуждения — бесконечность в чисто математическом смысле этого термина. И для него нам необходимо точное определение.

Очевидно, что слово «бесконечное» является прилагательным, и прежде всего мы должны договориться о том, к какому сорту объектов оно применимо. Какого рода объекты можно считать конечными или бесконечными? При математическом применении термина такими объектами являются множества, или совокупности объектов, которые могут быть конечными или бесконечными. Мы говорим, что множество объектов имеет конечное или бесконечное число членов, и теперь нужно сделать эти понятия точными.

Ключевую роль здесь играет понятие однооднозначного соответствия между двумя множествами. Например, два множества — стадо из семи овец и роща из семи деревьев — связаны между собой так, как ни одно из них не связано с грудой из пяти камней, потому что множество из семи овец и множество из семи деревьев можно соединить по парам (например, привязав к каждому дереву по овце) так, что каждая овца и каждое дерево будут принадлежать в точности одной паре. В математической терминологии это значит, что множество из семи овец можно поставить в 1-1-значное соответствие с множеством из семи деревьев. Другой пример. Допустим, что, попав в театральный зал, вы видите, что все места заняты, никто не стоит и никто не сидит ни у кого на коленях, на каждом месте сидит один и только один человек. Тогда, не считая число людей или число мест, вы знаете, что эти числа равны, так как множество людей находится в 1-1-значном соответствии с множеством мест: каждый человек соответствует месту, которое он занимает.

Я знаю, что вы знакомы с множеством натуральных чисел, хотя можете и не знать, что оно так называется. Натуральные числа — это числа 0, 1, 2, 3, 4... То есть натуральное число — это ноль или любое целое положительное число.

— А ненатуральное число существует? — спросила Аннабел.

— Нет, о таком я никогда не слышал, — усмехнулся Волшебник, — и, должен признаться, нахожу твой вопрос очень забавным. Как бы то ни было, с этого момента я буду использовать слово число в смысле натуральное число, если не оговаривается что-то обратное. Если дано натуральное число n, то что значит утверждение, что определенное множество имеет в точности n элементов? Например, что значит утверждение о том, что на моей
правой руке в точности пять пальцев? Это значит, что я могу установить 1-1-значное соответствие между множеством пальцев моей правой руки с множеством целых положительных чисел от 1 до 5, считая, что большой палец соответствует 1, указательный — 2, средний — 3, безымянный — 4 и мизинец — 5. В общем случае для любого целого положительного числа n множество содержит (в точности) n элементов, если можно установить 1-1-значное соответствие между этим множеством и множеством целых положительных чисел от 1 до n.

Множество, содержащее n элементов, называ-ют также п-элементным множеством. Процесс установления 1-1-значного соответствия между n-элементным множеством и множеством целых положительных чисел имеет общераспространенное название — счет. Да, именно в этом и заключается сущность счета. Итак, я объяснил вам, что означает для множества иметь n элементов, где n — целое положительное число. А что, если n = 0? Что
означает для множества иметь 0 элементов? Очевидно, что это значит, что множество вообще не имеет элементов.

— Такие множества существуют? — спросил Александр.

— Есть только одно такое множество, — ответил Волшебник. — Оно называется пустым множеством и является в высшей степени полезным для математиков. Без него постоянно пришлось бы делать исключения, и все стало бы очень громоздким. Например, мы хотим говорить о множестве людей в театре в данный момент. Может случиться, что в этот момент времени в театре вообще нет людей, и в таком случае мы говорим, что множество находящихся в театре людей пусто — точно так же, как говорим о пустом театре. Его нельзя путать с театром вообще! Театр продолжает существовать как театр; просто в нем может не быть ни одного человека. Точно так же, пустое множество существует как множество, но у него нет элементов.

Я вспоминаю чудесный случай. Много лет назад я рассказал о пустом множестве милой леди-музыканту. Она удивилась и спросила: «Математики действительно применяют это понятие?» Я ответил: «Конечно применяют».
Она спросила: «Где?» «Везде», — ответил я. Она задумалась ненадолго и сказала: «О, да. Я полагаю, это похоже на музыкальные паузы». Я думаю, это была очень хорошая аналогия! Один забавный случай связан со Смаллианом. Когда он был студентом Принстонского университета, один из известных математиков во время лекции сказал, что ненавидит пустое множество. В следующей своей лекции он использовал пустое множество. Смаллиан поднял руку и сказал: «Я думал, вы сказали, что не любите пустое множество». «Я сказал, что не люблю пустое множество, — ответил профессор. — Я никогда не говорил, что не использую пустое множество!»

— Вы еще не сказали нам, что вы понимаете под «конечным» и «бесконечным», — сказала Аннабел. — Вы собираетесь объяснять?

— Именно к этому я и подхожу, — ответил Волшебник. — Все, что я сказал вам прежде, ведет к определению этих терминов. Множество конечно, если существует такое натуральное число n, что данное множество содержит в точности n элементов, а это, как мы помним, значит, что данное множество можно поставить в 1-1-значное соответствие с целыми положительными числами от 1 до n. Если такого натурального числа n не существует, то множество называется бесконечным. Это очень просто. Таким образом, 0-элементное множество конечно, 1-элементное множество конечно, 2-элементное множество конечно... и n-элементное
множество конечно, где n — любое натуральное число. Но если для любого натурального числа n ложно, что множество содержит в точности n элементов, то это множество бесконечно. Значит, если множество бесконечно, то для любого натурального числа n, если удалить из данного множества n элементов, в нем еще останутся элементы — фактически еще останется бесконечное число элементов.

— Вы понимаете, почему сказанное верно? Давайте сначала рассмотрим простую задачу. Допустим, я удалил один элемент из бесконечного множества. То, что осталось, обязательно будет бесконечным?

— Кажется, что так! — сказала Аннабел.

— Именно так! — подтвердил Александр.

— Хорошо, вы правы, но можете ли вы это доказать?

Молодые люди задумались, но доказательство вышло трудным для них. Все казалось слишком очевидным, чтобы требовать доказательства. Однако это легко доказать из самих определений терминов «конечное» и «бесконечное». Данные определения необходимо применить для этого. Как же это доказать?

Волшебнику пришлось немного подтолкнуть молодых людей к нужному решению, но, в конце концов, они нашли доказательство, которое его устроило.

— Бесконечные множества, — сказал Волшебник, — обладают некоторыми странными свойствами, которые иногда называют парадоксальными. На самом деле они не парадоксальны, просто слегка поражают при первом
знакомстве с ними. Это хорошо иллюстрирует известный рассказ об отеле Гильберта. Возьмем обычный отель, в котором конечное число номеров, скажем, сто. Допустим, что все номера заняты и в каждом из них один жилец. Приезжает новый человек и хочет снять номер на ночь, но ни он, ни один из жильцов отеля не желает делить свой номер с другим человеком. Тогда невозможно разместить в отеле нового приезжего, так как невозможно установить 1-1-значное соответствие между 101 человеком и 100 комнатами. Однако с бесконечным отелем (если вы можете представить себе такой) ситуация другая. В отеле Гильберта бесконечное число комнат: по одной на каждое целое положительное число. Комнаты пронумерованы последовательно: номер 1, номер 2, номер 3... номер n... и так далее. Можно представить себе, что номера отеля расположены в линейном порядке: они начинаются в определенной точке и продолжаются вправо до бесконечности. Есть первый номер, но нет последнего! Важно помнить, что нет именно последнего номера, точно так же, как нет последнего натурального числа. Далее опять предполагается, что все номера заняты: в каждом номере по одному человеку. Появляется новый приезжий и хочет снять номер. Интересно, что теперь его можно разместить в отеле. Ни он, ни один из жильцов отеля не желает делить свой номер с другим человеком, но каждый жилец отеля согласен поменять свой номер на другой, если его об этом попросят.

— Теперь перейдем к другой задаче, — продолжил Волшебник после обсуждения решения предыдущей задачи. — Рассмотрим тот же отель. Однако теперь вместо одного человека приезжает бесконечное число новых гостей: по одному на каждое целое положительное число n. Назовем старых жильцов отеля P1, Р2... Рn... а новых приезжих Q1 , Q2... Qn... Все Q-персоны желают, чтобы их разместили в отеле. Необычно то, что это возможно!

Как это сделать?

А теперь рассмотрим еще более интересную задачу. Возьмем бесконечное число отелей: по одному на каждое целое положительное число. Отели расположены на прямоугольной площади:

Вся цепь отелей управляется одной администрацией. Все номера во всех отелях заняты. Однажды в целях экономии энергии администрация решает закрыть все отели, кроме одного. Однако для этого нужно разместить всех жильцов всех отелей в единственном отеле — по одному жильцу в одном номере.

Возможно ли это?

— Вы видите, что открывают нам эти за-дачи, — продолжал Волшебник. — Они показывают, что бесконечное множество имеет странное свойство: его можно поставить в 1-1-значное соответствие с его собственной частью. Давайте определим это более точно.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент А является элементом В. Например, если А — множество чисел от 1 до 100, В — множество чисел от 1 до 200, то А есть подмножество В. Если Е — множество четных чисел, а N — множество всех чисел, то Е есть подмножество N. Подмножество А множества В называется собственным подмножеством В, если А есть подмножество В, но не содержит все элементы В. Другими словами, А есть собственное подмножество В, если А есть подмножество В, но В не является подмножеством А. Пусть Р — это множество всех целых положительных чисел {1, 2, 3... n...}, Р- — это множество всех целых положительных чисел без единицы {2, 3... n...}. В первой задаче про отель Гильберта мы видели, что между Р и Р- можно установить 1-1-значное соответствие, и все же Р- является собственным подмножеством Р! Да, бесконечное множество может иметь странное свойство: его можно поставить в 1-1-значное соответствие со своим собственным подмножеством! Это было известно давно. В 1638 г. Галилей показал, что квадраты целых положительных чисел можно поставить в 1-1-значное соответствие с самими этими числами.

Казалось, это противоречит древней аксиоме о том, что целое больше любой из его частей.

— А разве нет? — спросил Александр.

— На самом деле противоречия нет, — ответил Волшебник. — Допустим, что А есть собственное подмножество В. Тогда в одном из смыслов слова «больше»— В больше А, а именно в том смысле, что В содержит все элементы А и еще те элементы, которых нет в А. Однако это не значит, что В численно превосходит А.

— Кажется, я не поняла, — сказала Аннабел. — Что вы имеете в виду под термином «численно превосходит»?

— Хороший вопрос! — сказал Волшебник. — Прежде всего, что, по вашему мнению, я имею в виду говоря, что А имеет ту же самую величину, что и В?

— Я полагаю, это значит, что между А и В можно установить 1-1-значное соответствие, — ответила Аннабел.

— Правильно! А что, по вашему мнению, я имею в виду, говоря, что А по величине меньше В, или что число элементов А меньше числа элементов В?

— Я полагаю, это значит, что можно установить 1-1-значное соответствие между А и собственным подмножеством В.

— Неплохая попытка, — одобрил Волшебник, — но эта версия не подходит. Такое определение прекрасно подошло бы для конечных множеств. Беда в том, что в некоторых случаях можно установить 1-1-значное соответствие между А и собственным подмножеством В, а также можно установить 1-1-значное соответствие между В и собственным подмножеством А. В таком случае вы сможете сказать, что каждое из этих множеств меньше другого? Например, пусть О — множество нечетных чисел, а Е — множество четных чисел. Очевидно, что между О и Е можно установить 1-1-значное соответствие.

Однако можно также установить 1-1-значное соответствие между О и собственным подмножеством Е.

Можно также установить 1-1-значное соответствие между Е и собственным подмножеством О.

Теперь вы, конечно, не скажете, что О и Е имеют одну и ту же величину, и все же О меньше, чем Е, а Е меньше, чем О! Нет, такое определение не работает.

— Тогда какое же определение отношения «...меньше, чем...» подходит для множеств? — спросила Аннабел.

Корректное определение формулируется так. А меньше, чем В, или В больше, чем А, если выполняются следующие условия: (1) можно установить 1-1-значное соответствие между А и собственным подмножеством В; (2) невозможно установить 1-1-значное соответствие между А и всем множеством В.

Чтобы правильно сказать, что А меньше В, необходимо, чтобы выполнялись оба эти условия. Утверждение о том, что А меньше В, означает прежде всего что можно установить 1-1-значное соответствие между А и подмножеством В, а также, что любое 1-1-значное соответствие между А и подмножеством В не исчерпывает всех элементов В.

А сейчас возникает фундаментальный вопрос. Любые два бесконечных множества имеют одну и ту же величину, или есть бесконечные множества разной величины? Это первый вопрос, на который нужно ответить при построении теории бесконечности, и, к счастью, на него ответил Георг Кантор в конце позапрошлого века. Ответ вызвал бурю и породил целое новое направление в математике, ветви которого просто фантастичны!

Я сообщу вам ответ Кантора при следующей встрече. Пока что подумайте сами, в чем состоял этот ответ. Одинаковы ли по величине все бесконечные множества, или среди них есть разные?

Решения

1. Сначала покажем, что при добавлении одного элемента к конечному множеству получается конечное множество. Допустим, что множество А конечно. По определению это значит, что для некоторого натурального числа n множество А имеет n элементов. Если добавить к А еще один элемент, получится множество, имеющее n+1 элементов, которое по определению конечно.

Из этого немедленно следует, что в результате удаления элемента из бесконечного множества В, должно получиться бесконечное множество, ибо, если бы оно было конечным, то, вернув удаленный элемент, мы получили бы исходное множество В, которое было бы конечным, а по условию оно бесконечно.

2. Администрации отеля нужно всего лишь попросить каждого из постояльцев переместиться на один номер вправо. Другими словами, обитатель номера 1 переходит в номер 2, обитатель номера 2 переходит в номер 3...
обитатель номера n переходит в номер n+1. Поскольку в этом отеле нет последней комнаты (в отличие от более нормальных конечных отелей), ни один из постояльцев не окажется на улице. (В конечном отеле обитатель последнего номера оказался бы без места.) После такого перемещения номер 1 освобождается, и вновь прибывший может занять его.

Математически в данном случае нужно установить 1-1-значное соответствие между множеством всех целых положительных чисел с множеством целых положительных чисел, начинающимся с 2. Конечно, менеджер отеля мог бы поступить так же с сотней миллионов новых гостей, если бы они прибыли одновременно. Он просто попросил бы каждого постояльца переместиться на сто миллионов и одну комнату вправо (жилец номера 1 перешел бы в номер 100000001, жилец номера 2 — в номер 100000002 и так далее). Для любого натурального числа n отель мог принять n новых постояльцев, переместив обитателя каждого номера на n номеров вправо и тем самым освободив n первых номеров для новых гостей.

3. Если приезжает бесконечное множество новых гостей Q1 , Q2... Qn... нужно действовать немного иначе. Одно из ложных решений состоит в следующем. Менеджер просит каждого из старых постояльцев переместиться на один номер вправо и вселяет одного из приезжих в пустой номер 1. Затем он опять просит каждого переместиться на один номер вправо и вселяет второго гостя в свободный номер 2. Затем эта процедура повторяется снова и снова бесконечное число раз, и раньше или позже все новые гости вселяются в отель.

Ох, какое же хлопотное это решение!

Ни один человек не занимает номер постоянно, и всех гостей невозможно разместить ни за какой конечный отрезок времени: требуется бесконечное число перемещений. Нет, все можно уладить с помощью единственного перемещения. Можете сказать какого?

Это перемещение состоит в том, что каждый из старых постояльцев удваивает номер своей комнаты, то есть обитатель номера 1 переходит в номер 2, обитатель номера 2 переходит в номер 4, обитатель номера 3 переходит
в номер 6... обитатель номера n переходит в номер 2n. Разумеется, все это делается одновременно, и после такого перемещения все четные номера заняты, а бесконечное число нечетных номеров свободно. Итак, первый новый гость Q1 идет в номер 1, Q2 идет в номер 3, Q3 — в номер 5 и так далее (Qn идет в номер 2n-1).

4. Сначала «пронумеруем» всех постояльцев всех номеров во всех отелях в соответствии со следующим планом:

Итак, каждый постоялец «помечен» целым положительным числом. Затем всех просят выйти из номеров и немного подождать на улице. После этого администрация закрывает все отели, кроме одного, и просит каждого из гостей занять тот номер отеля, который был ему предназначен: постоялец с номером n идет в номер n.

Актуальная бесконечность

Вот первый довод:

1. Актуальная бесконечность существовать не может.

2. Безначальный ряд временных событий представляет собой актуальную бесконечность.

3. Следовательно, безначальный ряд временных событий не может существовать.

Рассмотрим вначале первую посылку: Актуальная бесконечность не может существовать.

Что я имею в виду под актуальной бесконечностью? Множество объектов считается актуально бесконечным, если часть этого множества равна его целому. Так например, какой рад длиннее:

2,3,4,5,6,… или 0,1,2,3,4,5,6,…?

По общепринятым математическим представлениям, эти ряды эквивалентны, потому что они оба актуально бесконечны. Это кажется странным: ведь в правом ряду есть два числа, отсутствующие в левом. Но это лишь показывает, что в актуально бесконечном множестве часть (левый ряд) равна целому (правый ряд).

По той же причине математики утверждают, что ряд чётных чисел равен ряду натуральных чисел - несмотря на то, что ряд всех натуральных чисел содержит все чётные плюс бесконечное число нечётных чисел.

1,2,3,4,5,6,7,8,…

При этом не надо смешивать понятия актуальной бесконечности - и потенциальной бесконечности.

По мнению великого немецкого математика Давида Гилберта, главное различие между актуальной и потенциальной бесконечностью заключается вот в чём. Потенциально бесконечное есть всегда нечто возрастающее и имеющее пределом бесконечность, тогда как актуальная бесконечность - это завершённое целое, в действительности содержащее бесконечное число предметов.

Интересным примером этих двух типов бесконечности могут послужить два ряда событий: произошедших до и после какой-либо точки в прошлом.

Возьмём, например, момент в 1845 г., когда родился Георг Кантор, отец теории множеств.

В обоих случаях мы имеем в виду события, действительно случившиеся.

Точка, называемая «настоящее время», разумеется, не стоит на месте, а скользит вперёд. (По сути дела, это граница между событиями уже реализованными и ещё не реализованными.) Поэтому количество событий «после» (т. е. между 1845 г. и настоящим временем), хотя и в каждый конкретный момент конечное, постоянно возрастает. Оно никогда не реализовано до конца, и потому потенциально бесконечно.

Но ряд событий «до» полностью реализован, завершён и не возрастает. И если атеисты правы, и у Вселенной не было начала, то такой ряд бесконечен. Бесконечен актуально, реально.

В ходе наших рассуждений очень важно эти два понятия (актуальной и потенциальной бесконечности) не путать.

Второе пояснение касается слова «существовать». Когда я говорю, что актуальная бесконечность не может существовать, я имею в виду - существовать в реальном мире, или существовать не только в уме. Я вовсе не отрицаю законность использования понятия актуальной бесконечности в математике (оперирующей лишь мысленной реальностью). Я лишь утверждаю, что актуальная бесконечность не может существовать в физическом мире звёзд, планет, камней и людей.

Несколько примеров покажут абсурдность такого допущения.

Допустим, что существует библиотека, содержащая реально бесконечное число книг. Представим себе, что книги в ней только двух цветов, чёрного и красного, и что они стоят на полках, чередуясь: чёрная, красная, чёрная, красная, и т.д. Если кто-то скажет нам, что число чёрных книг равно числу красных, мы, вероятно, не удивимся. Но поверим ли мы, если нам скажут, что число чёрных книг равно числу чёрных и красных книг вместе? Ведь в таком собрании мы обнаружим все чёрные книги плюс бесконечное число красных книг!

Или же представим себе, что у нас есть книги трёх цветов, четырёх, пяти или даже ста. Поверим ли мы, что книг одного цвета столько же, сколько всего книг в библиотеке?

Или вообразите, что в библиотеке бесконечное число цветов книг. Можно предположить, что в бесконечно большой библиотеке будет приходиться по одной книге на каждый из бесконечного числа цветов. Но это не обязательно так. Как утверждают математики, если число книг действительно бесконечно, то на каждый из бесконечного числа цветов может прийтись и бесконечное количество книг. Таким образом мы получаем бесконечность бесконечностей! И тем не менее, если мы возьмём все книги всех цветов, их окажется не больше, чем книг только одного цвета.

Продолжим наши рассуждения. Предположим, что у каждой книги на корешке отпечатан номер. Поскольку библиотека реально бесконечна, каждое возможное число отпечатано на какой-либо из книг. Поэтому мы не можем добавить к библиотеке ещё одну книгу, ибо какой номер ей дать? Всё номера уже заняты. Таким образом, новой книге нельзя дать номера! Но это абсурд, так как в действительности предметы всегда можно нумеровать.

Если бы бесконечная библиотека существовала, то к ней невозможно было бы добавить ещё одну книгу. (Не потому ли, что она уже включала бы все существующие книги, и новую просто неоткуда было бы взять? Нет, ведь достаточно вырвать по листку из каждой книги первой сотни, склеить их вместе, поставить эту новую книгу на полку, и всё - библиотека пополнена!) Поэтому напрашивается единственно возможный вывод: библиотека, актуально бесконечная, - существовать не может.

Но предположим, что мы можем пополнить эту библиотеку, и я ставлю книгу на полку. По утверждению математиков, число книг в библиотеке осталось прежним. Как это может быть? Ведь мои опыт говорит: если я поставил книгу на полку, то там стало книгой больше, а если снял, то одной меньше.

Мне легко вообразить себя, ставящего и снимающего эту книгу. Должен ли я впрямь всерьёз поверить, что когда я добавляю книги, их число не увеличивается, а когда убираю - не уменьшается? А если я добавлю к этой библиотеке бесконечное число или даже бесконечность бесконечностей книг? Неужели и теперь в библиотеке ни на одну книгу не больше, чем прежде? Мне в это трудно поверить. А вам?

А теперь давайте, наоборот, выдавать книги из библиотеки. Предположим, в понедельник мы выдали книгу номер восемь. Разве число книг не уменьшилось на одну?

Во вторник - выдадим все книги с нечётными номерами. Ушло бесконечное число книг, но математики скажут, что в библиотеке книг меньше не стало.

Допустим, что в среду мы выдали книги за номерами 4, 5, 6,.. и до бесконечности. Единым махом библиотека практически вся опустела, бесконечное число книг сведено к конечному: к трём. Но позвольте, ведь мы на этот раз выдали столько же книг, что и во вторник! Почему же такая разница? И кто поверит, что такая библиотека может на самом деле существовать?

Все эти примеры иллюстрируют тот факт, что актуальная бесконечность не может иметь места в физическом мире. Я вновь хочу подчеркнуть: это ничем не грозит теоретической системе, введённой в современную математику Г. Кантором. Больше того: даже такие энтузиасты математических теорий бесконечного, как Д. Гилберт, охотно соглашаются с тем, что понятие актуальной бесконечности - это только идея, не имеющая никакого отношения к реальному миру. Поэтому - мы вправе заключить: актуальная бесконечность существовать не может.

Вторая посылка: Ряд событий во времени, не имеющий начала, представляет собой актуальную бесконечность.

Под «событием» я подразумеваю любую перемену, происходящую в физическом мире. То есть: если ряд прошлых событий (или перемен) всё время уходит в прошлое и никогда не имеет начала, то в этом случае, взятые все вместе, эти события составляют актуально бесконечное множество.

Допустим, мы спрашиваем, откуда появилась такая-то звезда. Нам отвечают, что она появилась в результате взрыва звезды, существовавшей до этого. Тогда мы спрашиваем, откуда появилась та звезда? Она тоже возникла из звезды, существовавшей до неё. А эта звезда откуда? Из другой, предыдущей звезды - и так далее. Этот ряд звёзд будет примером безначального во времени ряда событий.

Тогда, если Вселенная существовала всегда, ряд всех событий прошлого в их совокупности составит актуальную бесконечность: потому что каждому событию в прошлом предшествовало другое событие. Таким образом, ряд прошлых событий будет бесконечным.

Но не будет ли он потенциально бесконечным? Нет, ибо мы видели, что прошлое завершено и актуально, - лишь будущее может быть охарактеризовано как потенциально бесконечное. Поэтому представляется очевидным, что безначальный ряд событий во времени является актуальной бесконечностью.

Это приводит нас к нужному заключению. безначальный ряд событий во времени существовать не может. (Мы установили ранее, что актуально бесконечное не может существовать в действительности. И если безначальный ряд временных событий есть актуальная бесконечность, то такой ряд не может существовать.)

Значит, ряд всех событий прошлого обязан иметь начало. Но ведь история Вселенной и есть ряд всех свершившихся событий! Поэтому у Вселенной должно быть начало.

Несколько примеров пояснят этот аргумент.

Мы знаем, что если бы актуальная бесконечность могла существовать в действительности, к ней невозможно было бы ничего прибавить. Но к ряду событий во времени происходят добавления каждый день - или, по крайней мере, нам так кажется. Если же этот ряд актуально бесконечен, то число событий, случившихся до настоящего момента, - не больше, чем. скажем, число событий до 1789 года или до любой другой точки в прошлом, сколь угодно далёкой.

Ещё пример. Вообразим, что вокруг Солнца уже целую вечность вращаются две планеты. Допустим, что одна проходит свою орбиту за три года, другая - за год. Таким образом, на каждый оборот одной приходятся три оборота другой. Вопрос: если они движутся вечно, которая из этих планет сделала больше орбитных оборотов? Ответ: обе сделали одинаковое число оборотов. Но это явный абсурд, ведь здравый смысл подсказывает: чем дольше они вращаются, тем сильнее увеличивается разрыв. Как же может число оборотов быть равным?

Или, наконец, допустим, что нам повстречался инопланетянин. Он утверждает, что целую вечность вёл счёт, и теперь кончает:…5, 4, 3, 2, 1, 0. Но мы можем спросить: почему он не кончил считать вчера7 Или даже год назад? Неужели ему не хватило времени? Как же так? Ведь и до прошлого года прошло бесконечное число лет - значит, времени у него было достаточно. Что же получается? Как бы далеко в прошлое мы ни углубились, мы никогда не застигнем его за счетом. Следовательно, не может быть истинным утверждение, что он занят этим всю вечность.

Эти примеры подчёркивают абсурдность идеи безначального ряда событий во времени. Поскольку такой ряд является актуально бесконечным, а актуальная бесконечность существовать не может, то и этот ряд невозможен. Это значит, что Вселенная когда-то начала своё существование, что и требовалось доказать.

Бесконечность как понятие - верх абстракции. В этом отношении с ней может соперничать разве что скорость света или черная дыра. Чтобы приручить идею бесконечности, математики веками придумывали знаки, образы и истории, которые примиряют наш разум с тем, что невозможно себе представить.

1. Знак бесконечность

У бесконечности есть свой собственный символ: ∞. Этот знак иногда называют лемнискатой. Его в 1655 году придумал протестантский пастор и математик Джон Валлис. Слово «лемниската» происходит от латинского lemniscus, что значит «лента».

Возможно, придумывая знак бесконечности, Валлис взял за основу символ числа 1000, записанного римскими цифрами (CIƆ или CƆ), который римляне часто использовали для обозначения бесчисленности предметов. По другой версии, символ бесконечности отсылает к омеге (Ω или ω) - последней букве греческого алфавита.

Концепция бесконечности была предложена задолго до того, как Валлис придумал для нее символ. Например, древнегреческий философ Анаксимандр ввел понятие «апейрон», означавшее некое беспредельное первовещество.

2. Апории Зенона

Одна из самых известных апорий древнегреческого философа Зенона называется «Ахиллес и черепаха»: черепаха предлагает Ахиллесу бежать наперегонки, с тем условием, что она начнет движение немного раньше.

Черепаха уверена в своей победе, потому что в тот момент, как Ахиллес достигнет точки старта черепахи, она уже проползет чуть дальше, вновь увеличивая расстояние между ними.

Таким образом, несмотря на то, что расстояние будет сокращаться, Ахиллес никогда не догонит черепаху. Этот парадокс можно объяснить иначе. Представьте, что вы пересекаете комнату, с каждым шагом преодолевая половину оставшегося расстояния. Сначала ваш шаг будет равен половине общего расстояния, затем четверти, затем 1/8-й, 1/16-й и т.д. Хотя с каждым следующим шагом вы будете все ближе к противоположной стене комнаты, дойти до конца невозможно: вам нужно будет совершить бесконечное количество шагов.

3. Число Пи

Еще один пример бесконечности - число π: математики используют для него специальный символ, поскольку оно состоит из бесконечного количества цифр. Чаще всего его сокращают до 3,14 или 3,14159, но сколько бы знаков ни стояло после запятой, записать это число полностью невозможно.

4. Теорема о бесконечных обезьянах

Эта теорема утверждает, что если абстрактная обезьяна будет бесконечно долго бить по клавишам пишущей машинки, рано или поздно она напечатает шекспировского «Гамлета». Хотя некоторые видят в этой теореме подтверждение того, что все возможно, математики обычно используют ее в качестве примера события с очень низкой вероятностью.

5. Фракталы

Фрактал - это абстрактный математический объект, используемый в том числе для изображения феноменов, имеющих природное происхождение. В математике это множество, обладающее свойством самоподобия: его части подобны целому. Визуально такой объект представляет собой фигуру, где один и тот же мотив повторяется в последовательно уменьшающемся масштабе. Поэтому изображение фрактала можно бесконечно приближать: при увеличении масштаба проступают все новые детали.

Записанные в виде математического уравнения, большинство фракталов представляют собой недифференцируемые функции.

6. Размеры бесконечности

Хотя бесконечность не имеет границ, она может иметь разные размеры. Положительные и отрицательные числа представляют собой два бесконечных набора равного размера. Однако что будет, если сложить эти два набора? Получится нечто в два раза большее каждого из них.

Подобным образом можно рассмотреть четные числа: это также бесконечный набор, однако он в два раза меньше набора всех положительных чисел.

Кроме того, можно попробовать прибавить к бесконечности единицу и убедиться в том, что число ∞ + 1 всегда будет больше ∞.

7. Космология и бесконечность

Космологи продолжают изучать Вселенную и размышлять над концепцией бесконечности. Бесконечен ли космос? На этот вопрос по-прежнему нет ответа. Даже если наша физическая Вселенная конечна, есть вероятность, что она является лишь одной Вселенной из многих!

8. Деление на ноль

Мы знаем со школы, что деление на ноль - арифметически запрещенный прием. Число 1, поделенное на 0, не может быть определено: любой калькулятор выдаст код ошибки. Однако согласно другой теории, 1/0 есть вполне допустимая форма бесконечности.

философские науки

• ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
• ФИЗИКА
• МАТЕМАТИКА
• БЕСКОНЕЧНОСТЬ
• ВСЕЛЕННАЯ
• АКТУАЛЬНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ

Статья посвящена поиску ответа на вопрос, что такое бесконечность? Наверняка, многих мучает этот вопрос, так что же такое бесконечность? Какой смысл у этого слова? Я тоже задумывалась над этим вопросом и попыталась найти на него ответ. Ведь, бесконечность может быть в виде математического знака восьмерки, или же эта вселенная у которой нет конца и начала. Надеюсь, после прочтения статьи, вы сможете понять значения этого слова, которое волнует каждого человека.

• Жанр делового письма в контексте организационной культуры вуза
• Специфика и авторская методика оценки эффективности электронных бизнес-коммуникаций

Как в философии появилась бесконечность?

Философия, говоря по определению, как бы сфера плюральности. Философия возможно больше исследует, чем действительное. В этом ее блеск и нищета. Бесконечность появилась уже не из философской сферы, а религиозной. Потому что актуальная бесконечность пришла в европейскую мысль, когда произошло обращение Европы к христианству, пришла ближневосточная культура, библейские предсказания о Боге, монотеизм. То есть Бог бесконечен, бесконечно мудрый, Бог есть бесконечно милостивый (в христианском богословии). Для античности Бог был конечен, вот тогда и начались попытки осмыслить это философии. (Программа Александра Гордона «Осознание и признание бесконечности. Что собой представляет эта величина?»; 2016-04-17)

Термин бесконечность соответствует нескольким различным понятиям, в зависимости от области применения, будь то математика, философия, или повседневная жизнь. Бесконечность появилась как абстрактное количественное обозначение чего-то непостижимо большого, в применении к сущностям без пространственных или временных границ. (Доклад профессора, доктора философских наук Кармина Анатолия Соломонович; 2016-04-17)

Потенциальная бесконечность – бесконечно продолжающийся процесс. Например, бесконечное число рядов, бесконечная линия, прямая линия в геометрии.

Затем философы стали думать о том, а нет ли такой бесконечности, которая была бы действительно неограниченна, то есть не имела бы никакой границы в реальности. Это Бог. Бог – это все, все создано богом. Если Бог это все, то его нельзя определить, то есть Бог не имеет никаких пределов, границ не потому, что он практически бесконечен, он теоретически бесконечен. Но как он бесконечен? У него, что потенциальная бесконечность? Он актуально бесконечен.

Понятие актуально бесконечен впервые появилось в философии, то есть какая-то субстанция. Есть конечный мир, а есть бесконечное что-то за пределами нашего мира – трансцендентное.

Вселенная актуально бесконечна в математическом смысле. Если провести прямую линию от земли куда-то в даль, она вся отдана вселенной со своей бесконечностью. А если в вселенная может продолжаться и расширятся, то она потенциально бесконечна. Как устроена вселенная? Вселенная – бесконечное пространство, она трех мерна. (Доклад профессора, доктора философских наук Кармина Анатолия Соломоновича; 2016-04-17)

Также бесконечность неразрывно связана с обозначением бесконечно малого, к примеру, ещё Аристотель сказал:
"… всегда возможно придумать большее число, потому что количество частей, на которые можно разделить отрезок, не имеет предела. Поэтому бесконечность потенциальна, никогда не действительна; какое бы число делений не задали, всегда потенциально можно поделить на большее число. "

Бесконечность изменяется во времени, но всему этому есть логика. Например, человеческим открытиям, знаниям и бесконечность тоже развивается логически.

Если заглянуть в древнюю философию, то категория бесконечности вообще не отличалась от категории неопределенности. Можно сделать вывод, что бесконечность – это нечто неопределенное. Именно так, слово бесконечность понималось в древности. Отсюда возникло понятие, понятие практическая бесконечность, то есть мы считаем бесконечным то, что практически для нас не имеет видимых границ. Например, у А.С. Пушкина «Евгений Онегин»:

«И бесконечный котильон
Ее томил, как тяжкий сон.»

(Доклад профессора, доктора философских наук Кармина Анатолия Соломоновича; 2016-04-17)

То есть бесконечность – нечто большое, бесконечное.

Как бесконечность стала предметом точной науки?

Если посмотреть на математику XIX века, она представляла собой конфедерацию математических теорий, каждая их которых формировала свой взгляд на бесконечное. Скажем, геометрия, в ней было бесконечное перечисление параллельных прямых, в анализе – это были бесконечно большие или бесконечно малые величины. Но общим подходом было то, что математика в целом понимала бесконечность, как нечто отрицательное, нечто противоположное в конечному. (Программа Александра Гордона «Осознание и признание бесконечности. Что собой представляет эта величина?»; 2016-04-17)

Понятие бесконечности в физике и математике

Рассматривая различные случаи использования понятия бесконечности в науке, нельзя не заметить, что смысл этого понятия меняется в зависимости от обстоятельства, в которых оно употребляется.

В физике бесконечным считается то, что по отношению к изучаемым явлениям чрезвычайно велико или чрезвычайно мало. Например, при изучении движения тел около земной поверхности можно считать расстояние от Земли до Солнца бесконечно большим и соответственно действие солнечного тяготения на них бесконечно малым. Как справедливо отмечает Г. И. Наан, «во всех физических задачах бесконечность означает просто «достаточно далеко». Это могут быть и парсеки (в астрономии), и километры или метры (в электродинамике), и даже миллиардные и значительно меньшие доли сантиметра в теории атомного ядра». (Г. И. Наан Общие вопросы космологии «Труды шестого совещания по вопросам космогонии», Изд в АН СССР, 1959, 256 с.)

Тем самым бесконечность выступает здесь как бесконечное лишь в строго определенном отношении, будучи в других отношениях конечным.

Понимаемую таким образом бесконечность можно назвать «физической» бесконечностью. «Физическая» бесконечность позволяет получать ценные научные выводы, достаточно строгие и точные.

«Физическая» бесконечность – научная абстракция, с помощью которой мы получаем возможность выразить определенные, объективно существующие отношения между вещами. Но она отражает эти отношения односторонне, упрощенно. Поэтому в каждом конкретном случае область ее использования ограничена.

В отличии от абстракции «физической» бесконечности математическое понимание бесконечного выступает, как абстракция «более высокого ранга». (Кармин А. С. Постановка проблемы бесконечности в современной науки. Ленинград, 1965, 124 с.)

Различают два основных вида математической бесконечности: потенциальная и актуальная. Первая, как я уже сказала выше, означает неограниченно продолжающийся процесс, вторая – актуально, налично существующую в виде завершенного целого бесконечную величину. С помощью этих абстракций в различных разделах математики создаются разные математические образы бесконечного. Математическая бесконечность начинает тогда казаться образцом, которому, как идеалу, должна следовать природа. Однако реальная бесконечность природы не должна обязательно подчиняться нашим математическим представлениям о бесконечности. «Идеальная потребность математика вовсе не есть принудительный закон для реального мира» (Ф. Энгельс. Анти-Дюринг. Госполитиздат, 1953, стр. 49).

Бесконечность в математике принимается как число количественная определенность, как бесконечное количество. Но количество «вообще», количество как таковое, безотносительно к качественной определённости есть абстракция. В реальном мире в отличии от мира абстракции количество всегда есть количество какого-то качества. (Кармин А. С. Постановка проблемы бесконечности в современной науки. - Ленинград, 1965, 124 с.)

Значит, математические абстракции бесконечности имеют реальный смысл лишь как выражение бесконечного количества некоего качества. Но в природе все имеет меру, и всякое качество связано с определенными границами присуще ему количественных изменений.

Как мы вообще приходим к понятию бесконечности?

Допустим, что мы начинаем считать, двигаясь по натуральному ряду чисел. Можно ли путем такого движения и счета получить понятие бесконечности, т. е. можно ли дойти до такого числа, которое необходимо было бы назвать бесконечным? Конечно, нельзя. Сколько бы мы ни двигались по натуральному ряду чисел, мы никогда не дойдем до бесконечности. Следовательно, целых чисел мало для конструкции понятия бесконечности; тут нужны совсем другие подходы.

Если не хватает натурального ряда чисел, возьмем числовое инобытие и посмотрим, не встретим ли мы здесь категорию бесконечного числа. Однако, что такое инобытие? Инобытие числа, если его брать в чистом виде, во всем абсолютно противоположно числу: число есть четкая раздельность, инобытие числа–сплошная неразличимость; число – устойчивость и прерывность, числовое инобытие – неуловимая подвижность и алогическая непрерывность. В таком виде взятое, числовое инобытие никакого отношения к бесконечности не имеет.

Бесконечность прежде всего есть нечто; сущность же инобытия заключается именно в том, что оно не есть нечто (иначе оно было бы бытием, а не инобытием), а существует оно всегда только в отношении числа и бытия. О числовом инобытие нельзя ни того, что он конечен, ни того, что он бесконечен. Об инобытии, если его брать в чистом виде, невозможно никакое утверждение. Оно живет именно размывом и становлением. Таким образом, бесконечного числа на этом пути мы не можем достигнуть. Тут повторяется, собственно говоря, то же бессилие, что и в случае с целым числом. В крайнем случае чистое инобытие приводит к беспредельному становлению, при котором ни о какой новой точке становления нельзя сказать, что эта точка бесконечно удалена от начала становления. Инобытие делает как бы бессильный жест в сторону бесконечности, но не дает самой бесконечности. (Лосев А.Ф. Хаос и Структура. – Москва «Мысль», 1997, 495-496 с.)

О сказанном выше, я задаюсь вопросом, есть ли такое состояние мысли – мысль о бесконечности? Мне кажется, что нет. Это, как и движение по натуральному ряду чисел, есть не конструкция бесконечности, а лишь бессильный жест в сторону бесконечности и полная невозможность сказать о ней что-нибудь положительное.

Бесконечность как философская категория

В наиболее широком смысле понятие бесконечности использует философия. Действительно, диалектический материализм рассматривает бесконечность как ее атрибут.

Рассматривая бесконечность в наиболее широком плане, диалектика материалистическая философия получает возможность выделить то наиболее общее и существенное, что характеризует бесконечность, как атрибут материи и что как или иначе лежит в основе всех научных представлений о ней, поскольку все они являются в конечном счете представлениями об одном и том же. Таким образом, научно философское, диалектик материалистическое понимание бесконечности может рассматривать как обобщение различных абстракций бесконечности, используемых в науке.

Категория бесконечности тесно связана с категориями абсолютного и относительного. Абсолютное и относительное в материальном мире образует нереальное единство. Любые конкретные процессы, состояния, свойства, качества материи являются относительными. Но в их постоянном движении, изменении, превращении выявляется абсолютное.

Бесконечность обнаруживается нами всегда и выступает как форма проявления абсолютного. Признание бесконечности материи, движения, пространства и времени следует именно из признания их абсолютности. (Кармин А. С. Постановка проблемы бесконечности в современной науки. - Ленинград, 1965, 125 с.)

Таким образом, абсолютное существует не само по себе «в чистом виде», а лишь через относительное. Однако, появляясь в относительности, абсолютное не может быть сведено к нему. Эта противоречивая взаимосвязь и выражается категорией бесконечности. Бесконечность представляет собой не что иное, как способ разрешения противоречия между абсолютным и относительным, способ из взаимного перехода друг в друга.

Особенности постановки проблемы бесконечности в философии и естественных теориях

Как я уже говорила, существует некоторое различие между употреблением понятия абсолютности в философии и его употреблением в естественных теориях.

Философия рассматривает понятие абсолютности в самом общем значении, считая абсолютным лишь то, что непреложно всеобще для мира «в целом», для материи «вообще». В философском понимании абсолютны лишь наиболее общие законы и атрибуты бытия: например, движение, пространство и время, закон перехода количественных изменений в качественные.

Любой естественнонаучный закон в этом более узком смысле абсолютен, ибо иначе он вообще не был бы законом. Каждая конкретная научная теория, имея перед собой всегда определенную конкретную область исследования, считает абсолютным то, что непреложно в данной области, то есть то, сто абсолютно не «вообще», а лишь в отмеченном более узком смысле.

Ясно, что это абсолютное за пределами данной области действительности является относительным. Однако то, что одно и то же может выступать в одном отношении как абсолютное, а в другом как относительное, - это объективный факт. Например, то, что вода закипает при 100°С – это абсолютный, всеобщий закон природы. Но в то же время, будучи зависимым от условий, которые могут быть, а могут и не быть, этот закон оказывается относительным. (Кармин А. С. Постановка проблемы бесконечности в современной науки. - Ленинград, 1965, 126 с.)

Таким образом, он и абсолютен и относителен, и это не смешение понятий, а отражение диалектической противоречивости объективного мира.

Следовательно, в отличии от философии, понятие абсолютного в рамках всякой естественнонаучной теории есть абстракция. Эта абстракция нужна и полезна, но она теряет силу тогда, когда невозможно отвлечься от изменения данных условий и приходится учитывать новые, иные условия.

Реальная бесконечность природы есть выражение ее абсолютного характера – абсолютного в самом полном и широком смысле слова. Так как в философии речь идет именно об «абсолютном в общем», «безусловно абсолютном», то она вырабатывает наиболее общие понятия бесконечности, отражающие реальную конечность природы в общем виде.

В естественнонаучных теориях понятие бесконечности тоже употребляется как выражение абсолютного его соотношении с относительным. Но абсолютное тут понимается не как «абсолютное вообще», а как «абсолютное при определенных условиях», и поэтому бесконечность выступает тоже не как реальная бесконечность вообще, а как бесконечность при определенных условиях. Бесконечность конкретных свойств и состоянии материи – это не реальная бесконечность. (Кармин А. С. Постановка проблемы бесконечности в современной науки. - Ленинград, 1965, 127 с.)

Таким образом, наиболее общая постановка проблемы бесконечности дает только философия. Поскольку она относится к конкретным свойствам и состояниям материи, а не ко всей материи вообще.

Бесконечность пространства

Если говорить о пространстве вообще как универсальной форме существования материи, то оно выступает как абсолютное в самом широком смысле. Как говорилось выше, что это абсолютное пространство бесконечно, и бесконечность его есть реальная бесконечностью.

Но если речь идет о физическом пространстве – о пространстве, окружающем нас и обладающем определенной, свойственной ему структурой, - то оно не является «абсолютным вообще».

Значит, то конкретное физическое пространство, которое изучается естественными науками, не бесконечно. Бесконечность есть его научная абстракция, и когда в естествознании говорится о бесконечности пространства, то обычно имеется в виду не реальная бесконечность, а именно эта абстракция. Она основана на абсолютизации пространства и поэтому носит характер «дурной» бесконечности. Она полезна и даже необходима, но ее нельзя принимать за реальную бесконечность пространства. Сфера применяемой этой абстракции ограничена. (Кармин А. С. Постановка проблемы бесконечности в современной науки. - Ленинград, 1965, 127 с.)

Исходя из этого можно сказать, что на некотором этапе развития науки, когда придется рассматривать пространство в новых отношениях и перед ними раскроются новые, более общие свойства и формы его, тогда ограниченность абстракции будет обнаружена и мы столкнемся с необходимостью считать «наше» физическое пространство конечным.

Парадокс обнаруженный А. Л. Зельмановым, находит рациональное объяснение, что не инвариантность бесконечности, то есть «дурная» пространственная бесконечность – это относительность бесконечности конкретного определенного физического пространства. Значит, о бесконечности можно говорить только в определенных отношениях, абстрагируясь от других отношений, в которых оно является конечным.

Также находит подтверждение в исследованиях А. З. Петрова о том, что реальная бесконечность пространства гораздо сложнее, чем «дурная» бесконечность. Она важна не только в физических, но и философских отношениях. Путем анализа алгебраической структуры уравнений Эйнштейна А. З. Петров показал, что имеются три различных типа пространства. Но если в бесконечной Вселенной имеются пространства различных типов, то «дурная» бесконечность становится бессмысленной.

Если в этих условиях реальная бесконечность пространства отожествляется с его «дурной» бесконечностью, то невозможно считать пространство бесконечным. Это, вероятно, послужило причиной того, что некоторые ученые, стоящие на позициях диалектического материализма, стали пытаться вообще пересмотреть положение марксистской философии о бесконечности пространства. Например, Э. Кольман.

В статье «Современная физика в поисках дальнейшей фундаментальной теории» Э. Кольман считает, что «если только математика, физика, космология низведут – каждая у себя – понятие бесконечности до вспомогательного понятия, до абстрактной экстраполяции, то понятие бесконечности не сможет в философии сохранить свое прежнее положение». («Вопросы философии», 1965, №2, стр. 119) Но, во-первых, Э. Кольман сам признает необходимость использовать это понятие, говоря о бесконечном многообразии материи и бесконечных изменениях ее, то есть считает бесконечность атрибутом материи, а во-вторых, если бесконечность все же является атрибутом материи, то приходится признать необходимость философской категории бесконечности, которая выражает то общее и существенное, что лежит в основе научных абстракций бесконечности. Ограниченность этих абстракций обусловлена тем, что бесконечности вообще нет, а тем, что они являются односторонними, упрощёнными образами ее. Мысль Э. Кольмана верна в том смысле, что философское понятие бесконечности нельзя сводить к «дурной» бесконечности или тому подобной «абстрактной экстраполяции», что философия должна дать более глубокое понятие бесконечности. (Кармин А. С. Постановка проблемы бесконечности в современной науки. - Ленинград, 1965, 128-129 с.

В заключении хочу сказать, что бесконечность или бесконечное столь же познаваемо, как и непознаваемо, и раскрытие его сущности может происходить лишь в виде «бесконечного асимптотического прогресса» (по положению Энгельса), то есть все атрибуты и законы материи оказываются одновременно специфическими и частными для всего мира, например, пространство, время, движение, системность. Когда мы говорим о том, что мир есть единое связное целое, то можно определить, что здесь подразумевается понятие «целое». Поскольку Вселенная бесконечна, то о ней нельзя говорить, как о какой-то замкнутой системе, иначе говоря какую бы конкретную систему любого порядка и масштабов мы ни взяли, она будет входить во Вселенную. По моему суждению, во Вселенной нет единого количественного закона развития всех систем, а положение во Вселенной как едином связном целом означает лишь признание материального единства мир (то есть общность материи, как некой субстанции, как носителя многообразных свойств и отношений), подчинение всех объектов тем всеобщим законам, которые исследуются диалектическим материализмом. А диалектический материализм в свою очередь это система взглядов на окружающий мир.

Список литературы

1. Г. И. Наан Общие вопросы космологии «Труды шестого совещания по вопросам космогонии», Изд во АН СССР, 1959, 256 с.;
2. Доклад профессора, доктора философских наук Кармина Анатолия Соломоновича;
3. Журнал «Вопросы философии», 1965, №2, 119 с.;
4. Кармин А. С. «Постановка проблемы бесконечности в современной науки»;
5. Лосев А.Ф. Хаос и Структура. – Москва «Мысль», 1997, 495-496 с.;
6. Программа Александра Гордона «Осознание и признание бесконечности. Что собой представляет эта величина?»;
7. Ф. Энгельс. Анти-Дюринг. Госполитиздат, 1953, 49 с.

Термин бесконечность может описывать несколько различных понятий, в зависимости от области применения, будь это математика, физика, философия, теология или повседневная жизнь.

Потенциальная и актуальная бесконечность

Когда говорят, что некоторая величина потенциально бесконечны , то подразумевается, что она может быть неограниченно увеличена. Альтернативой является понятие актуальной бесконечности , которая означает величину, которая не имеет конечной меры. Пример: второй постулат Евклида утверждает не бесконечность длины прямой линии, а всего лишь то, что «прямую можно непрерывно продолжать». Это потенциальная бесконечность. Если же рассмотреть всю бесконечную прямую, то она дает пример актуальной бесконечности.

Античные философы и математики признавали, как правило, только потенциальную бесконечность, решительно отвергая возможность оперировать с актуально бесконечными атрибутами. Согласно этой доктрине формулировались научные утверждения. Например, теорема о бесконечности множества простых чисел в античных математиков формулировалась так: «Каково бы ни было простое число P , существует простое число, большее, чем P ».

Аристотель писал:

Всегда можно придумать большее число, потому что количество частей, на которые можно разделить отрезок, не имеет границ. Поэтому бесконечность потенциальная, никогда не действительна; которое бы число делений ни задали, всегда потенциально можно поделить на большее число.

Именно Аристотель сделал большой вклад в осознание бесконечности, разделив ее на потенциальную и актуальную и вплотную подойдя с этой стороны к основам математического анализа, а также указав на пять источников учения о ней:

• Время;
• Разделение величин;
• Неисчерпаемость творений природы;
• Само понятие границы, выталкивает за ее пределы;
• Мышления, которое является неудержимым.

Бесконечность в культуре и философии

Бесконечность в большинстве культур появилась как абстрактное количественное обозначение чего необозримо большого в применении к сущностям без пространственных или временных границ.

Математическом происхождению символа бесконечности предшествовал религиозный аспект.

Понятие бесконечности развивалось в философии и теологии наряду с точными науками и естествознанием. Например, в теологии бесконечность Бога не столько дает количественное определение, сколько означает неограниченность и непостижимость. В философии бесконечность долгое время рассматривалась как атрибут пространства и времени; в наши дни это дискуссионный вопрос космологии. Например, древним символом бесконечности, что встречается в совершенно разных культурах, есть змей Уроборос, которого иногда изображают таким, что сворачивается в виде перевернутой восьмерки.

Бесконечность в естествознании

В философии интенсивно обсуждались два вопроса, связанные с бесконечностью: вопрос о конечности или бесконечности вселенной в пространстве и времени и вопрос о возможности бесконечного деления. Актуальность этих философских вопросов несколько уменьшилась со становлением современных естественнонаучных теорий: физической космологии и атомистики.

В современной физической космологии доминирует теория Большого взрыва, по которой Вселенная, в той форме, в которой мы можем его себе представить, зародился примерно 13,8 млрд лет назад. Вопрос о том, что предшествовало, и то вообще предшествовало, Большом взрыве, остается неразрешимым. Остается невыясненной судьба Вселенной в далеком будущем - ограничением здесь является недостаточность данных о его физических параметрах.

По современным уявленннямы естествознания о форме Вселенной он является замкнутым, т.е. имеет конечный объем, хотя и ограничен. Космологический параметр плотности, который определяет форму Вселенной несколько больше единицы. Пространственных границ Вселенной физическая космология не устанавливает, но одновременно существуют пределы удаленности небесных тел, которые человек может наблюдать, связанные с конечностью скорости света и возрастом Вселенной.

Вопрос о бесконечной делимости вещества решилось в пользу существования атомов - мельчайших ее частиц. Атомы имеют сложное строение, но на субатомном уровне речь уже не идет о той же вещество.

Физические теории оперируют с абстракциями, которые связаны с понятием бесконечности. Например, физики часто рассматривают бесконечное сплошную среду, в котором распространяются монохроматические плоские волны. Хотя экспериментальных возможностей воспроизвести такую среду и такую волну нет, эти абстракции оказались плодотворными в смысле физических процессов.

Бесконечность в математике

В математике не существует одного понятия бесконечности, она наделяется особыми свойствами в каждом разделе. Более того, эти различные «бесконечности» не являются взаимозаменяемыми. Например, теория множеств рассматривает различные бесконечности, причем одна может быть больше другого. Скажем, количество целых чисел бесконечно велика (она называется счисления ). Чтобы обобщить понятие количества элементов для бесконечных множеств, в математике вводится понятие мощности множества. При этом не существует одной «бесконечной» мощности. Например, мощность множества действительных чисел больше мощность множества целых чисел, так как между этими множествами можно построить взаимно-однозначное соответствие (биекцию), а целые числа включенных в действительные. Таким образом, в этом случае « число элементов » (мощность) одного множества более «бесконечное» «числа элементов» (мощности) другого. Основоположником этих понятий был немецкий математик Георг Кантор.

В математическом анализе множеству действительных чисел добавляются два несобственные числа, которые обозначаются символами и и применяются для определения предельных значений и сходимости. В данном случае речь о «воспринимаемая» бесконечность не идет, так как любое утверждение, содержащее этот символ, можно записать, используя только конечные числа и кванторы. Эти символы, как и многие другие, были введены для сокращения записи более длинных выражений.

Символ бесконечности

Джон Волис ввел символ бесконечности в научной литературе.

Точное происхождение символа бесконечности ? неизвестно.

Наиболее вероятное объяснение состоит в том, что символ бесконечности происходит от формы ленты Мебиуса. Опять же, можно представить бесконечное путешествие по ее поверхности.

Ввод символа бесконечности? часто приписывают Джону Волису в 1655 в его сочинении De sectionibus conicis . Одно из мнений о том, почему он выбрал этот символ является то, что он происходит из римского записи числа 1000 происходивший от этрусского записи числа1000, который выглядел вроде этого CI0 и иногда использовался для обозначения понятия "много". Другим мнением является то, что он происходит от греческой буквы? омега, последней буквы в греческом алфавите. Или еще, так как вся верстка проводилась вручную, ? легко верстались как 8 возвращена на 90°.

В кодировке Unicode бесконечность обозначена символом? (U +221 E).