Научиться решать уравнения — это одна из главных задач, которые ставит алгебра перед учениками. Начиная с простейшего, когда оно состоит из одной неизвестной, и переходя ко все более сложным. Если не усвоены действия, которые нужно выполнить с уравнениями из первой группы, будет трудно разобраться с другими.

Для продолжения разговора нужно договориться об обозначениях.

Общий вид линейного уравнения с одной неизвестной и принцип его решения

Любое уравнение, которое можно привести к записи такого вида:

а * х = в ,

называется линейным . Это общая формула. Но часто в заданиях линейные уравнения записаны в неявном виде. Тогда требуется выполнить тождественные преобразования, чтобы получить общепринятую запись. К этим действиям относятся:

• раскрытие скобок;
• перемещение всех слагаемых с переменной величиной в левую часть равенства, а остальных — в правую;
• приведение подобных слагаемых.

В случае когда неизвестная величина стоит в знаменателе дроби, нужно определить ее значения, при которых выражение не будет иметь смысла. Другими словами, полагается узнать область определения уравнения.

Принцип, по которому решаются все линейные уравнения, сводится к тому, чтобы разделить значение в правой части равенства на коэффициент перед переменной. То есть «х» будет равен в/а.

Частные случаи линейного уравнения и их решения

Во время рассуждений могут возникать такие моменты, когда линейные уравнения принимают один из особых видов. Каждый из них имеет конкретное решение.

В первой ситуации:

а * х = 0 , причем а ≠ 0.

Решением такого уравнения всегда будет х = 0.

Во втором случае «а» принимает значение равное нулю:

0 * х = 0 .

Ответом такого уравнения будет любое число. То есть у него бесконечное количество корней.

Третья ситуация выглядит так:

0 * х = в , где в ≠ 0.

Это уравнение не имеет смысла. Потому что корней, удовлетворяющих ему, не существует.

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными

Из его названия становится ясно, что неизвестных величин в нем уже две. Линейные уравнения с двумя переменными выглядят так:

а * х + в * у = с .

Поскольку в записи встречаются две неизвестные, то ответ будет выглядеть как пара чисел. То есть недостаточно указать только одно значение. Это будет неполный ответ. Пара величин, при которых уравнение превращается в тождество, является решением уравнения. Причем в ответе всегда первой записывают ту переменную, которая идет раньше по алфавиту. Иногда говорят, что эти числа ему удовлетворяют. Причем таких пар может быть бесконечное количество.

Как решить линейное уравнение с двумя неизвестными?

Для этого нужно просто подобрать любую пару чисел, которая окажется верной. Для простоты можно принять одну из неизвестных равной какому-либо простому числу, а потом найти вторую.

При решении часто приходится выполнять действия для упрощения уравнения. Они называются тождественными преобразованиями. Причем для уравнений всегда справедливы такие свойства:

• каждое слагаемое можно перенести в противоположную часть равенства, заменив у него знак на противоположный;
• левую и правую части любого уравнения разрешено делить на одно и то же число, если оно не равно нулю.

Примеры заданий с линейными уравнениями

Первое задание. Решить линейные уравнения: 4х = 20, 8(х — 1) + 2х = 2(4 — 2х); (5х + 15) / (х + 4) = 4; (5х + 15) / (х + 3) = 4.

В уравнении, которое идет в этом списке первым, достаточно просто выполнить деление 20 на 4. Результат будет равен 5. Это и есть ответ: х=5.

Третье уравнение требует того, чтобы было выполнено тождественное преобразование. Оно будет заключаться в раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых. После первого действия уравнение примет вид: 8х — 8 + 2х = 8 — 4х. Потом нужно перенести все неизвестные в левую часть равенства, а остальные — в правую. Уравнение станет выглядеть так: 8х + 2х + 4х = 8 + 8. После приведения подобных слагаемых: 14х = 16. Теперь оно выглядит так же, как и первое, и решение его находится легко. Ответом будет х=8/7. Но в математике полагается выделять целую часть из неправильной дроби. Тогда результат преобразится, и «х» будет равен одной целой и одной седьмой.

В остальных примерах переменные находятся в знаменателе. Это значит, что сначала нужно узнать, при каких значениях уравнения определены. Для этого нужно исключить числа, при которых знаменатели обращаются в ноль. В первом из примеров это «-4», во втором оно «-3». То есть эти значения нужно исключить из ответа. После этого нужно умножить обе части равенства на выражения в знаменателе.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, в первом из этих уравнений получится: 5х + 15 = 4х + 16, а во втором 5х + 15 = 4х + 12. После преобразований решением первого уравнения будет х = -1. Второе оказывается равным «-3», это значит, что последнее решений не имеет.

Второе задание. Решить уравнение: -7х + 2у = 5.

Предположим, что первая неизвестная х = 1, тогда уравнение примет вид -7 * 1 + 2у = 5. Перенеся в правую часть равенства множитель «-7» и поменяв у него знак на плюс, получится, что 2у = 12. Значит, у=6. Ответ: одно из решений уравнения х = 1, у = 6.

Общий вид неравенства с одной переменной

Все возможные ситуации для неравенств представлены здесь:

• а * х > в;
• а * х < в;
• а * х ≥в;
• а * х ≤в.

В общем, оно выглядит как простейшее линейное уравнение, только знак равенства заменен на неравенство.

Правила тождественных преобразований неравенства

Так же как линейные уравнения, и неравенства можно видоизменять по определенным законам. Они сводятся к следующему:

1. к левой и правой частям неравенства можно прибавить любое буквенное или числовое выражение, причем знак неравенства останется прежним;
2. также можно и умножить или разделить на одно и то же положительное число, от этого опять знак не изменяется;
3. при умножении или делении на одно и то же отрицательное число равенство останется верным при условии смены знака неравенства на противоположный.

Общий вид двойных неравенств

В задачах могут быть представлены такие варианты неравенств:

• в < а * х < с;
• в ≤ а * х < с;
• в < а * х ≤ с;
• в ≤ а * х ≤ с.

Двойными оно называется, потому что ограничено знаками неравенства с двух сторон. Оно решается с помощью тех же правил, что и обычные неравенства. И нахождение ответа сводится к ряду тождественных преобразований. Пока не будет получено простейшее.

Особенности решения двойных неравенств

Первой из них является его изображение на координатной оси. Использовать этот способ для простых неравенств нет необходимости. А вот в сложных случаях он может быть просто необходимым.

Для изображения неравенства нужно отметить на оси все точки, которые получились во время рассуждений. Это и недопустимые значения, которые обозначаются выколотыми точками, и значения из неравенств, получившиеся после преобразований. Здесь тоже важно правильно нарисовать точки. Если неравенство строгое, то есть < или >, то эти значения выколотые. В нестрогих неравенствах точки нужно закрашивать.

Потом полагается обозначить смысл неравенств. Это можно сделать с помощью штриховки или дуг. Их пересечение укажет ответ.

Вторая особенность связана с его записью. Здесь предлагается два варианта. Первый — это окончательное неравенство. Второй — в виде промежутков. Вот с ним бывает, что возникают трудности. Ответ промежутками всегда выглядит как переменная со знаком принадлежности и скобок с числами. Иногда промежутков получается несколько, тогда между скобками нужно написать символ «и». Эти знаки выглядят так: ∈ и ∩. Скобки промежутков тоже играют свою роль. Круглая ставится тогда, когда точка исключена из ответа, а прямоугольная включает это значение. Знак бесконечности всегда стоит в круглой скобке.

Примеры решения неравенств

1. Решить неравенство 7 - 5х ≥ 37.

После несложных преобразований получается: -5х ≥ 30. Разделив на «-5» можно получить такое выражение: х ≤ -6. Это уже ответ, но его можно записать и по-другому: х ∈ (-∞; -6].

2. Решите двойное неравенство -4 < 2x + 6 ≤ 8.

Сначала нужно везде вычесть 6. Получится: -10 < 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Уравнений. Если сказать по-другому, решение всех уравнений начинается с этих преобразований. При решении линейных уравнений, оно (решение) на тождественных преобразованиях и заканчивается окончательным ответом.

Случай ненулевого коэффициента при неизвестной переменной.

ax+b=0, a ≠ 0

Переносим в одну сторону члены с иксом, а в другую сторону — числа . Обязательно помните, что перенося слагаемые на противоположную сторону уравнения, нужно поменять знак:

ax:(a)=-b:(a)

Сокращаем а при х и получаем:

x=-b:(a)

Это ответ. Если нужно проверить, является ли число -b:(a) корнем нашего уравнения, то нужно подставить в начальное уравнение вместо х это самое число:

a(-b:(a))+b=0 (т.е. 0=0)

Т.к. это равенство верное, то -b:(a) и правда есть корень уравнения.

Ответ: x=-b:(a), a ≠ 0.

Первый пример :

5x+2=7x-6

Переносим в одну сторону члены с х , а в другую сторону числа:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

При неизвестной коэффициент сократили и получили ответ:

Это ответ. Если нужно проверить, действительно ли число 4 корнем нашего уравнения, подставляем в исходное уравнение вместо икса это число:

5*4+2=7*4-6 (т.е. 22=22)

Т.к. это равенство верное, то 4 - это корень уравнения.

Второй пример:

Решить уравнение:

5x+14=x-49

Перенеся неизвестные и числа в разные стороны, получили:

Делим части уравнения на коэффициент при x (на 4) и получаем:

Третий пример:

Решить уравнение:

Сначала избавляемся от иррациональности в коэффициенте при неизвестном, домножив все слагаемые на :

Эту форму считают упрощаемой, т.к. в числе есть корень числа в знаменателе. Нужно упростить ответ, умножив числитель и знаменатель на одинаковое число, у нас это :

Случай отсутствия решений.

Решить уравнение:

2x+3=2x+7

При всех x наше уравнение не станет верным равенством. То есть, у нашего уравнения нет корней.

Ответ: решений нет.

Частный случай — бесконечное число решений.

Решить уравнение:

2x+3=2x+3

Перенеся иксы и числа в разные стороны и приведя подобные слагаемые, получаем уравнение:

Здесь тоже не возможно разделить обе части на 0, т.к. это запрещено. Однако, подставив на место х всякое число, мы получаем верное равенство. То есть, всякое число есть решение такого уравнения. Т.о., здесь бесконечное число решений.

Ответ: бесконечное число решений.

Случай равенства двух полных форм.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

Ответ: x=(d-b):(a-c) , если d≠b и a≠c , иначе бесконечно много решений, но, если a=c , а d≠b , то решений нет.

Линейное уравнение - это алгебраическое уравнение, полная степень многочленов которого равна единице. Решение линейных уравнений - часть школьной программы, причем не самая сложная. Однако некоторые все же испытывают затруднения при прохождении данной темы. Надеемся, прочитав данный материал, все трудности для вас останутся в прошлом. Итак, давайте разбираться. как решать линейные уравнения.

Общий вид

Линейное уравнение представляется в виде:

• ax + b = 0, где a и b - любые числа.

Несмотря на то, что a и b могут быть любыми числами, их значения влияют на количество решений уравнение. Выделяют несколько частных случаев решения:

• Если a=b=0, уравнение имеет бесконечное множество решений;
• Если a=0, b≠0, уравнение не имеет решения;
• Если a≠0, b=0, уравнение имеет решение: x = 0.

В том случае, если оба числа имеют не нулевые значения, уравнение предстоит решить, чтобы вывести конечное выражения для переменной.

Как решать?

Решить линейное уравнение - значит, найти, чему равна переменная. Как же это сделать? Да очень просто - используя простые алгебраические операции и следуя правилам переноса. Если уравнение предстало перед вами в общем виде, вам повезло, все, что необходимо сделать:

1. Перенести b в правую сторону уравнения, не забыв изменить знак (правило переноса!), таким образом, из выражения вида ax + b = 0 должно получиться выражение вида: ax = -b.
2. Применить правило: чтобы найти один из множителей (x - в нашем случае), нужно произведение (-b в нашем случае) поделить на другой множитель (a - в нашем случае). Таким образом, должно получиться выражение вида: x = -b/а.

Вот и все - решение найдено!

Теперь давайте разберем на конкретном примере:

1. 2x + 4 = 0 - переносим b, равное в данном случае 4, в правую сторону
2. 2x = -4 - делим b на a (не забываем о знаке минус)
3. x = -4/2 = -2

Вот и все! Наше решение: x = -2.

Как видите, решение линейного уравнения с одной переменной найти довольно просто, однако так просто все, если нам повезло встретить уравнение в общем виде. В большинстве случаев, прежде чем решать уравнение в описанные выше две ступени, нужно еще привести имеющееся выражение к общему виду. Впрочем, это тоже не архисложная задача. Давайте разберем некоторые частные случаи на примерах.

Решение частных случаев

Во-первых, давайте разберем случаи, которые мы описали в начале статьи, и объясним, что же значит бесконечное множество решений и отсутствие решения.

• Если a=b=0, уравнение будет иметь вид: 0x + 0 = 0. Выполняя первый шаг, получаем: 0x = 0. Что значит эта бессмыслица, воскликните вы! Ведь какое число на ноль ни умножай, всегда получится ноль! Верно! Поэтому и говорят, что уравнение имеет бесконечное множество решений - какое число ни возьми, равенство будет верным, 0x = 0 или 0=0.
• Если a=0, b≠0, уравнение будет иметь вид: 0x + 3 = 0. Выполняем первый шаг, получаем 0x = -3. Снова бессмыслица! Очевидно же, что данное равенство никогда не будет верным! Потому и говорят - уравнение не имеет решений.
• Если a≠0, b=0, уравнение будет иметь вид: 3x + 0 = 0. Выполняя первый шаг, получаем: 3x = 0. Какое решение? Это легко, x = 0.

Трудности перевода

Описанные частные случаи - это не все, чем нас могут удивить линейный уравнения. Иногда уравнение вообще с первого взгляда трудно идентифицировать. Разберем пример:

• 12x - 14 = 2x + 6

Разве это линейное уравнение? А как же ноль в правой части? Торопиться с выводами не будем, будем действовать - перенесем все составляющие нашего уравнения в левую сторону. Получим:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Теперь вычтем подобное из подобного, получим:

• 10x - 20 = 0

Узнали? Самое что ни на есть линейное уравнение! Решение которого: x = 20/10 = 2.

А что если перед нами такой пример:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Да, это тоже линейное уравнение, только преобразований нужно провести побольше. Сначала раскроем скобки:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - теперь выполняем перенос:
4. 25x - 4 = 0 - осталось найти решение по уже известной схеме:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0.16

Как видите, все решаемо, главное - не переживать, а действовать. Запомните, если в вашем уравнении только переменные первой степени и числа, перед вами линейное уравнение, которое, как бы оно ни выглядело изначально, можно привести к общему виду и решить. Надеемся, у вас все получится! Удачи!

В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.

Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что такое линейное уравнение

Определение 1

Линейное уравнение – это уравнение, запись которого такова:
a · x = b , где x – переменная, a и b – некоторые числа.

Такая формулировка использована в учебнике алгебры (7 класс) Ю.Н.Макарычева.

Пример 1

Примерами линейных уравнений будут:

3 · x = 11 (уравнение с одной переменной x при а = 5 и b = 10 );

− 3 , 1 · y = 0 (линейное уравнение с переменной y , где а = - 3 , 1 и b = 0);

x = − 4 и − x = 5 , 37 (линейные уравнения, где число a записано в явном виде и равно 1 и - 1 соответственно. Для первого уравнения b = - 4 ; для второго - b = 5 , 37 ) и т.п.

В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид a · x = b при помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение 5 · x = 2 · x + 6 – также линейное.

А вот учебник алгебры (7 класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:

Определение 2

Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a · x + b = 0 , где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.

Пример 2

Примером линейных уравнений подобного вида могут быть:

3 · x − 7 = 0 (a = 3 , b = − 7) ;

1 , 8 · y + 7 , 9 = 0 (a = 1 , 8 , b = 7 , 9) .

Но также там приведены примеры линейных уравнений, которые мы уже использовали выше: вида a · x = b , например, 6 · x = 35 .

Мы сразу условимся, что в данной статье под линейным уравнением с одной переменной мы будем понимать уравнение записи a · x + b = 0 , где x – переменная; a , b – коэффициенты. Подобная форма линейного уравнения нам видится наиболее оправданной, поскольку линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А прочие уравнения, указанные выше, и уравнения, приведенные равносильными преобразованиями в вид a · x + b = 0 , определим, как уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям.

При таком подходе уравнение 5 · x + 8 = 0 – линейное, а 5 · x = − 8 - уравнение, сводящееся к линейному.

Принцип решения линейных уравнений

Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.

Определение 3

Факт наличия корней линейного уравнения определятся значениями коэффициентов a и b . Запишем эти условия:

• при a ≠ 0 линейное уравнение имеет единственный корень x = - b a ;
• при a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение не имеет корней;
• при a = 0 и b = 0 линейное уравнение имеет бесконечно много корней. По сути в данном случае любое число может стать корнем линейного уравнения.

Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:

• перенести слагаемое из одной части в другую, сменив знак на противоположный;
• умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Таким образом, преобразуем линейное уравнение a · x + b = 0 , перенеся слагаемое b из левой части в правую часть со сменой знака. Получим: a · x = − b .

Итак, производим деление обеих частей уравнения на не равное нулю число а, получив в итоге равенство вида x = - b a . Т.е., когда a ≠ 0 , исходное уравнение a · x + b = 0 равносильно равенству x = - b a , в котором очевиден корень - b a .

Методом от противного возможно продемонстрировать, что найденный корень – единственный. Зададим обозначение найденного корня - b a как x 1 . Выскажем предположение, что имеется еще один корень линейного уравнения с обозначением x 2 . И конечно: x 2 ≠ x 1 , а это, в свою очередь, опираясь на определение равных чисел через разность, равносильно условию x 1 − x 2 ≠ 0 . С учетом вышесказанного мы можем составить следующие равенства, подставив корни:
a · x 1 + b = 0 и a · x 2 + b = 0 .
Свойство числовых равенств дает возможность произвести почленное вычитание частей равенств:

a · x 1 + b − (a · x 2 + b) = 0 − 0 , отсюда: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0 и далее a · (x 1 − x 2) = 0 . Равенство a · (x 1 − x 2) = 0 является неверным, поскольку ранее условием было задано, что a ≠ 0 и x 1 − x 2 ≠ 0 . Полученное противоречие и служит доказательством того, что при a ≠ 0 линейное уравнение a · x + b = 0 имеет лишь один корень.

Обоснуем еще два пункта условий, содержащие a = 0 .

Когда a = 0 линейное уравнение a · x + b = 0 запишется как 0 · x + b = 0 . Свойство умножения числа на нуль дает нам право утверждать, что какое бы число не было взято в качестве x , подставив его в равенство 0 · x + b = 0 , получим b = 0 . Равенство справедливо при b = 0 ; в прочих случаях, когда b ≠ 0 , равенство становится неверным.

Таким образом, когда a = 0 и b = 0 , любое число может стать корнем линейного уравнения a · x + b = 0 , поскольку при выполнении этих условий, подставляя вместо x любое число, получаем верное числовое равенство 0 = 0 . Когда же a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение a · x + b = 0 вовсе не будет иметь корней, поскольку при выполнении указанных условий, подставляя вместо x любое число, получаем неверное числовое равенство b = 0 .

Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:

• по виду записи определяем значения коэффициентов a и b и анализируем их;
• при a = 0 и b = 0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число станет корнем заданного уравнения;
• при a = 0 и b ≠ 0
• при a , отличном от нуля, начинаем поиск единственного корня исходного линейного уравнения:

1. перенесем коэффициент b в правую часть со сменой знака на противоположный, приводя линейное уравнение к виду a · x = − b ;
2. обе части полученного равенства делим на число a , что даст нам искомый корень заданного уравнения: x = - b a .

Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.

Напоследок уточним, что уравнения вида a · x = b решаются по похожему алгоритму с единственным отличием, что число b в такой записи уже перенесено в нужную часть уравнения, и при a ≠ 0 можно сразу выполнять деление частей уравнения на число a .

Таким образом, чтобы найти решение уравнения a · x = b , используем такой алгоритм:

• при a = 0 и b = 0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число может стать его корнем;
• при a = 0 и b ≠ 0 заданное уравнение не будет иметь корней;
• при a , не равном нулю, обе части уравнения делятся на число a , что дает возможность найти единственный корень, который равен b a .

Примеры решения линейных уравнений

Пример 3

Необходимо решить линейное уравнение 0 · x − 0 = 0 .

Решение

По записи заданного уравнения мы видим, что a = 0 и b = − 0 (или b = 0 , что то же самое). Таким образом, заданное уравнение может иметь бесконечно много корней или любое число.

Ответ: x – любое число.

Пример 4

Необходимо определить, имеет ли корни уравнение 0 · x + 2 , 7 = 0 .

Решение

По записи определяем, что а = 0 , b = 2 , 7 . Таким образом, заданное уравнение не будет иметь корней.

Ответ: исходное линейное уравнение не имеет корней.

Пример 5

Задано линейное уравнение 0 , 3 · x − 0 , 027 = 0 . Необходимо решить его.

Решение

По записи уравнения определяем, что а = 0 , 3 ; b = - 0 , 027 , что позволяет нам утверждать наличие единственного корня у заданного уравнения.

Следуя алгоритму, переносим b в правую часть уравнения, сменив знак, получаем: 0 , 3 · x = 0 , 027 . Далее разделим обе части полученного равенства на а = 0 , 3 , тогда: x = 0 , 027 0 , 3 .

Осуществим деление десятичных дробей:

0 , 027 0 , 3 = 27 300 = 3 · 9 3 · 100 = 9 100 = 0 , 09

Полученный результат есть корень заданного уравнения.

Кратко решение запишем так:

0 , 3 · x - 0 , 027 = 0 , 0 , 3 · x = 0 , 027 , x = 0 , 027 0 , 3 , x = 0 , 09 .

Ответ: x = 0 , 09 .

Для наглядности приведем решение уравнения записи a · x = b .

Пример N

Заданы уравнения: 1) 0 · x = 0 ; 2) 0 · x = − 9 ; 3) - 3 8 · x = - 3 3 4 . Необходимо решить их.

Решение

Все заданные уравнения отвечают записи a · x = b . Рассмотрим по очереди.

В уравнении 0 · x = 0 , a = 0 и b = 0 , что означает: любое число может быть корнем этого уравнения.

Во втором уравнении 0 · x = − 9: a = 0 и b = − 9 , таким образом, это уравнение не будет иметь корней.

По виду последнего уравнения - 3 8 · x = - 3 3 4 запишем коэффициенты: a = - 3 8 , b = - 3 3 4 , т.е. уравнение имеет единственный корень. Найдем его. Поделим обе части уравнения на a , получим в результате: x = - 3 3 4 - 3 8 . Упростим дробь, применив правило деления отрицательных чисел с последующим переводом смешанного числа в обыкновенную дробь и делением обыкновенных дробей:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 · 8 3 = 15 · 8 4 · 3 = 10

Кратко решение запишем так:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .

Ответ: 1) x – любое число, 2) уравнение не имеет корней, 3) x = 10 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

И т.п., логично познакомиться с уравнениями и других видов. Следующими по очереди идут линейные уравнения , целенаправленное изучение которых начинается на уроках алгебры в 7 классе.

Понятно, что сначала надо объяснить, что такое линейное уравнение, дать определение линейного уравнения, его коэффициентов, показать его общий вид. Дальше можно разбираться, сколько решений имеет линейное уравнение в зависимости от значений коэффициентов, и как находятся корни. Это позволит перейти к решению примеров, и тем самым закрепить изученную теорию. В этой статье мы это сделаем: детально остановимся на всех теоретических и практических моментах, касающихся линейных уравнений и их решения.

Сразу скажем, что здесь мы будем рассматривать только линейные уравнения с одной переменной, а уже в отдельной статье будем изучать принципы решения линейных уравнений с двумя переменными .

Навигация по странице.

Что такое линейное уравнение?

Определение линейного уравнения дается по виду его записи. Причем в разных учебниках математики и алгебры формулировки определений линейных уравнений имеют некоторые различия, не влияющие на суть вопроса.

Например, в учебнике алгебры для 7 класса Ю. Н. Макарычева и др. линейное уравнение определяется следующим образом:

Определение.

Уравнение вида a·x=b , где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной .

Приведем примеры линейных уравнений, отвечающие озвученному определению. Например, 5·x=10 – это линейное уравнение с одной переменной x , здесь коэффициент a равен 5 , а число b есть 10 . Другой пример: −2,3·y=0 – это тоже линейное уравнение, но с переменной y , в котором a=−2,3 и b=0 . А в линейных уравнениях x=−2 и −x=3,33 a не присутствуют в явном виде и равны 1 и −1 соответственно, при этом в первом уравнении b=−2 , а во втором - b=3,33 .

А годом ранее в учебнике математики Виленкина Н. Я. линейными уравнениями с одним неизвестным помимо уравнений вида a·x=b считали и уравнения, которые можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также с помощью приведения подобных слагаемых. Согласно этому определению, уравнения вида 5·x=2·x+6 , и т.п. тоже линейные.

В свою очередь в учебнике алгебры для 7 классов А. Г. Мордковича дается такое определение:

Определение.

Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a·x+b=0 , где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.

К примеру, линейными уравнениями такого вида являются 2·x−12=0 , здесь коэффициент a равен 2 , а b – равен −12 , и 0,2·y+4,6=0 с коэффициентами a=0,2 и b=4,6 . Но в тоже время там приводятся примеры линейных уравнений, имеющие вид не a·x+b=0 , а a·x=b , например, 3·x=12 .

Давайте, чтобы у нас в дальнейшем не было разночтений, под линейным уравнениями с одной переменной x и коэффициентами a и b будем понимать уравнение вида a·x+b=0 . Такой вид линейного уравнения представляется наиболее оправданным, так как линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А все остальные указанные выше уравнения, а также уравнения, которые с помощью равносильных преобразований приводятся к виду a·x+b=0 , будем называть уравнениями, сводящимися к линейным уравнениям . При таком подходе уравнение 2·x+6=0 – это линейное уравнение, а 2·x=−6 , 4+25·y=6+24·y , 4·(x+5)=12 и т.п. – это уравнения, сводящиеся к линейным.

Как решать линейные уравнения?

Теперь пришло время разобраться, как решаются линейные уравнения a·x+b=0 . Другими словами, пора узнать, имеет ли линейное уравнение корни, и если имеет, то сколько их и как их найти.

Наличие корней линейного уравнения зависит от значений коэффициентов a и b . При этом линейное уравнение a·x+b=0 имеет

• единственный корень при a≠0 ,
• не имеет корней при a=0 и b≠0 ,
• имеет бесконечно много корней при a=0 и b=0 , в этом случае любое число является корнем линейного уравнения.

Поясним, как были получены эти результаты.

Мы знаем, что для решения уравнений можно переходить от исходного уравнения к равносильным уравнениям , то есть, к уравнениям с теми же корнями или также как и исходное, не имеющим корней. Для этого можно использовать следующие равносильные преобразования:

• перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком,
• а также умножение или деление обе частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Итак, в линейном уравнении с одной переменной вида a·x+b=0 мы можем перенести слагаемое b из левой части в правую часть с противоположным знаком. При этом уравнение примет вид a·x=−b .

А дальше напрашивается деление обеих частей уравнения на число a. Но есть одно но: число a может быть равно нулю, в этом случае такое деление невозможно. Чтобы справиться с этой проблемой, сначала будем считать, что число a отлично от нуля, а случай равного нулю a рассмотрим отдельно чуть позже.

Итак, когда a не равно нулю, то мы можем обе части уравнения a·x=−b разделить на a , после этого оно преобразуется к виду x=(−b):a , этот результат можно записать с использованием дробной черты как .

Таким образом, при a≠0 линейное уравнение a·x+b=0 равносильно уравнению , откуда виден его корень .

Несложно показать, что этот корень единственный, то есть, линейное уравнение не имеет других корней. Это позволяет сделать метод от противного.

Обозначим корень как x 1 . Предположим, что существует еще один корень линейного уравнения, который обозначим x 2 , причем x 2 ≠x 1 , что в силу определения равных чисел через разность эквивалентно условию x 1 −x 2 ≠0 . Так как x 1 и x 2 корни линейного уравнения a·x+b=0 , то имеют место числовые равенства a·x 1 +b=0 и a·x 2 +b=0 . Мы можем выполнить вычитание соответствующих частей этих равенств, что нам позволяют сделать свойства числовых равенств , имеем a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0 , откуда a·(x 1 −x 2)+(b−b)=0 и дальше a·(x 1 −x 2)=0 . А это равенство невозможно, так как и a≠0 и x 1 −x 2 ≠0 . Так мы пришли к противоречию, что доказывает единственность корня линейного уравнения a·x+b=0 при a≠0 .

Так мы решили линейное уравнение a·x+b=0 при a≠0 . Первый результат, приведенный в начале этого пункта, обоснован. Остались еще два, отвечающие условию a=0 .

При a=0 линейное уравнение a·x+b=0 принимает вид 0·x+b=0 . Из этого уравнения и свойства умножения чисел на нуль следует, что какое бы число мы не взяли в качестве x , при его подстановке в уравнение 0·x+b=0 получится числовое равенство b=0 . Это равенство верное, когда b=0 , а в остальных случаях при b≠0 это равенство неверное.

Следовательно, при a=0 и b=0 любое число является корнем линейного уравнения a·x+b=0 , так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа дает верное числовое равенство 0=0 . А при a=0 и b≠0 линейное уравнение a·x+b=0 не имеет корней, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа приводит к неверному числовому равенству b=0 .

Приведенные обоснования позволяют сформировать последовательность действий, позволяющую решить любое линейное уравнение. Итак, алгоритм решения линейного уравнения таков:

• Сначала по записи линейного уравнения находим значения коэффициентов a и b .
• Если a=0 и b=0 , то это уравнение имеет бесконечно много корней, а именно, любое число является корнем этого линейного уравнения.
• Если же a отлично от нуля, то
• коэффициент b переносится в правую часть с противоположным знаком, при этом линейное уравнение преобразуется к виду a·x=−b ,
• после чего обе части полученного уравнения делятся на отличное от нуля число a , что и дает искомый корень исходного линейного уравнения .

Записанный алгоритм является исчерпывающим ответом на вопрос, как решать линейные уравнения.

В заключение этого пункта стоит сказать, что похожий алгоритм применяется для решения уравнений вида a·x=b . Его отличие состоит в том, что при a≠0 сразу выполняется деление обеих частей уравнения на это число, здесь b уже находится в нужной части уравнения и не нужно осуществлять его перенос.

Для решения уравнений вида a·x=b применяется такой алгоритм:

• Если a=0 и b=0 , то уравнение имеет бесконечно много корней, которыми являются любые числа.
• Если a=0 и b≠0 , то исходное уравнение не имеет корней.
• Если же a отлично от нуля, то обе части уравнения делятся на отличное от нуля число a , откуда находится единственный корень уравнения, равный b/a .

Примеры решения линейных уравнений

Переходим к практике. Разберем, как применяется алгоритм решения линейных уравнений. Приведем решения характерных примеров, соответствующих различным значениям коэффициентов линейных уравнений.

Пример.

Решите линейное уравнение 0·x−0=0 .

Решение.

В этом линейном уравнении a=0 и b=−0 , что то же самое, b=0 . Следовательно, это уравнение имеет бесконечно много корней, любое число является корнем этого уравнения.

Ответ:

x – любое число.

Пример.

Имеет ли решения линейное уравнение 0·x+2,7=0 ?

Решение.

В данном случае коэффициент a равен нулю, а коэффициент b этого линейного уравнения равен 2,7 , то есть, отличен от нуля. Поэтому, линейное уравнение не имеет корней.