Гамма излучение представляет собой довольно серьезную опасность для человеческого организма, да и для всего живого в общем.

Это электромагнитные волны с очень маленькой длиной и высокой скоростью распространения.

Чем же они так опасны, и каким образом можно защититься от их воздействия?

О гамме излучение

Все знают, что атомы всех веществ содержат в себе ядро и электроны, которые вращаются вокруг него. Как правило, ядро – это довольно стойкое образование, которому трудно нанести повреждения.

При этом существуют вещества, ядра которых неустойчивы, и при некотором воздействии на них происходит излучение их составляющих. Такой процесс называется радиоактивным, он имеет определенные составляющие, названные по первым буквам греческого алфавита:

• гамма излучения.

Стоит отметить, что радиационный процесс подразделяется на два вида в зависимости от того, что именно в результате выделяется.

Виды:

1. Поток лучей с выделением частиц – альфа, бета и нейтронное;
2. Излучение энергии – рентгеновское и гамма.

Гамма излучение – это поток энергии в виде фотонов. Процесс разделения атомов под воздействием радиации сопровождается образованием новых веществ. При этом атомы вновь образовавшегося продукта имеют довольно нестабильное состояние. Постепенно при взаимодействии элементарных частиц возникает восстановление равновесия. В результате происходит выброс лишней энергии в виде гаммы.

Проникающая способность такого потока лучей очень высока. Оно способно проникать через кожные покровы, ткани, одежду. Более тяжелым будет проникновение через металл. Чтобы задержать такие лучи необходима довольно толстая стена из стали или бетона. Однако длина волныγ-излучения очень мала и составляет меньше 2·10 −10 м, а ее частота находится в диапазоне 3*1019 – 3*1021 Гц.

Гамма частицами являются фотоны с довольно высокой энергией. Исследователи утверждают, что энергия гаммы излучения может превышать показатель 10 5 эВ. При этом граница между рентгеновскими и γ-лучами далеко не резкая.

Источники:

• Различные процессы в космическом пространстве,
• Распад частиц в процессе опытов и исследований,
• Переход ядра элемента из состояния с большой энергией в состояние покоя или с меньшей энергией,
• Процесс торможения заряженных частиц в среде либо движение их в магнитном поле.

Открыл гамма излучение французский физик Поль Виллар в 1900 году, проводя исследование излучения радия.

Чем опасно гамма-излучение

Гамма излучение является наиболее опасным, нежели альфа и бета.

Механизм действия:

• Гамма лучи способны проникать через кожные покровы внутрь живых клеток, в результате происходит их повреждение и дальнейшее разрушение.
• Поврежденные молекулы провоцируют ионизацию новых таких же частиц.
• В результате возникает изменение в структуре вещества. Пострадавшие частицы при этом начинают разлагаться и превращаться в токсические вещества.
• В итоге происходит образование новых клеток, но они уже с определенным дефектом и поэтому не могут полноценно работать.

Гамма излучения опасно тем, что такое взаимодействие человека с лучами не ощущается им ни в коей мере. Дело в том, что каждый орган и система человеческого организма реагирует по-разному на γ-лучи. Прежде всего, страдают клетки, способные быстро делиться.

Системы:

• Лимфатическая,
• Сердечная,
• Пищеварительная,
• Кроветворная,
• Половая.

Оказывается негативное влияние и на генетическом уровне. Кроме того, такое излучение имеет свойство накапливаться в человеческом организме. При этом в первое время оно практически не проявляется.

Где применяется гамма-излучение

Несмотря на негативное влияние, ученые нашли и положительные стороны. В настоящее время такие лучи применяются в различных сферах жизни.

Гамма излучение — применение:

• В геологических исследованиях с их помощью определяют длину скважин.
• Стерилизация различных медицинских инструментов.
• Используется для контроля внутреннего состояния различных вещей.
• Точное моделирование пути космических аппаратов.
• В растениеводстве применяется для вывода новых сортов растений из тех, что мутируют под воздействием лучей.

Излучение гамма частиц нашло свое применение в медицине. Используется оно в терапии онкологических больных. Такой метод имеет название «лучевая терапия» и основывается на воздействии лучей на быстро делящиеся клетки. В результате при правильном использовании появляется возможность уменьшить развитие патологических клеток опухоли. Однако такой метод, как правило, применяется в том случае, когда другие уже бессильны.

Отдельно стоит сказать о влияние его на мозг человека

Современные исследования позволили установить, что мозг постоянно испускает электрические импульсы. Ученые считают, что гамма излучения возникает в те моменты, когда человеку приходится работать с разной информацией одновременно. При этом небольшое количество таких волн ведет к уменьшению запоминающей способности.

Как защититься от гамма-излучения

Какая же защита существует, и что сделать, чтобы уберечься от этих вредных лучей?

В современном мире человек окружен различными излучениями со всех сторон. Однако гамма частицы из космоса оказывают минимальное воздействие. А вот то, что находится вокруг представляет гораздо большую опасность. Особенно это относится к людям, работающим на различных атомных станциях. В таком случае защита от гамма излучения состоит в применении некоторых мер.

Меры:

• Не находится длительное время в местах с таким излучением. Чем дольше времени человек находится под воздействием этих лучей, тем больше разрушений возникнет в организме.
• Не стоит находиться там, где расположены источники излучения.
• Необходимо использовать защитную одежду. В ее состав входит резина, пластик с наполнителями из свинца и его соединений.

Стоит отметить, что коэффициент ослабления гамма излучения зависит от того, из какого материала сделан защитный барьер. Так, например, лучшим металлом считается свинец в виду его свойства поглощать излучение в большом количестве. Однако он плавится при довольно низких температурах, поэтому в некоторых условиях используется более дорогой металл, например, вольфрам или тантал.

Еще один способ обезопасить себя – это измерить мощность гамма излучения в Вт. Кроме того, мощность измеряется также в зивертах и рентгенах.

Норма гамма излучения не должна превышать 0,5 микрозиверта в час. Однако лучше если этот показатель не будет выше 0,2 микрозиверта в час.

Чтобы измерить гамма излучение, применяется специальное устройство – дозиметр. Таких приборов существует довольно много. Часто используется такой аппарат, как «дозиметр гамма излучения дкг 07д дрозд». Он предназначен для оперативного и качественного измерения гамма и рентгеновского излучения.

У такого устройства есть два независимых канала, которые могут измерять МЭД и Эквивалент дозировки. МЭД гамма излучения это мощность эквивалентной дозировки, то есть количество энергии, которую поглощает вещество в единицу времени с учетом того, какое воздействие лучи оказывают на человеческий организм. Для этого показателя также существуют определенные нормы, которые обязательно должны быть учтены.

Излучение способно негативно влиять на организм человека, однако даже для него нашлось применение в некоторых сферах жизни.

Видео: Гамма-излучение

46. Природа, происхождение и свойства гамма- и рентгеновского излучений. Механизмы взаимодействия гамма- и рентгеновских квантов с атомами вещества. Вероятность различных способов взаимодействия квантов с атомами в зависимости от энергии квантов.

Важнейшей характеристикой любого ионизирующего излучения явл. Его ионизирующая способность. Количественной мерой этой способности служит линейная плотность ионизации (ЛПИ). Она равняется числу пар ионов, создаваемых частицей (квантам) на единице пути в веществе. ЛПИ зависит от природы и энергии частицы и от свойств вещества. В литературе обычно указывается ЛПИ для стандартного вещества – сухого воздуха, а за единицу пути принимается один сантиметр. Легко понять, что повреждающее действие на организм тем больше, чем больше ЛПИ. Проходя через вещество кванты, постепенно теряют энергию, которая расходуется на ионизацию молекул и атомов. Скоростью потери энергии определяется проникающая способность данного ионизирующего излучения. За меру проникающей способности для частиц принимают расстояние, на к-м частица замедляется до энергии близкой к средней энергии теплового движения. Для квантов рентгеновских или гамма-лучей за меру проникающей способности принимают расстояние, на к-м мощность излучения падает в «е» раз. Чем больше ЛПИ, тем в данном веществе меньше проникающая способность излучения. Излучения с высокой ПС называются жесткими; если же ПС мала, такое излучение называют мягким. Но эти термины относительны. Альфа-частицы обладают очень малой ПС; даже в воздухе их пробег равен нескольким см. Более плотные вещества непроницаемы для альфа-частиц при толщине в доли мм. Поток альфа-частиц, падающих на человека, целиком поглощается в верхних слоях кожи. Из-за малой ПС альфа-частицы практически совершенно безопасны для человека при внешнем облучении. Но если альфа-активный изотоп попадет внутрь организма, то опасность будет очень велика, т.к. испускаемые изотопом внутри тканей частицы вызовут очень сильную ионизацию, повреждающую живые структуры. ПС бета-частиц примерно в 100 раз больше; в воздухе они проходят неск-ко м, в твердых средах – неск-ко мм (в зависимости от энергии). Рентгеновские лучи и гамма-кванты, имеющие малую ЛПИ, проникают глубоко даже в плотные среды. Гамма-кванты с высокой энергией могут проходить через слой земли или бетона в неск-ко метров.

Взаимодействие с вещ-м альфа- и бета-частиц

Отдельные альфа- и бетта-частицы могут проникнуть в ядра атомов и вызвать там те или иные ядерные реакции. Но подавляющее число частиц взаимодействует только с электронными оболочками. Имея большую массу, альфа-частицы практически не отклоняются от прямолинейной траектории при столкновении с электронами атома. Электроны же отрываются от атомов и молекул, т.е. происходит ионизация. Для определенного изотопа все альфа-частицы обладают приблизительно одной и той же энергией, поэтому все альфа-частицы данного изотопа имеют одинаковый пробег в вещ-ве. Бета-частицы легкие, поэтому они значительно изменяют направление своего движения при столкновении с атомом. Такой процесс называется рассеянием. Рассеянные бета-частицы летят во все стороны и могут явиться источником поражения людей, находящихся поблизости от тела, на к-е падает поток бета-частиц, даже если этот поток непосредственно на человека не попадает. Источником опасности может явиться тормозное рентгеновское излучение, возникающее при торможении ** в твердых веществах. Из-за существования тормозного излучения даже чистые бета-излучатели требуют при хранении или перевозке достаточно серьезной защиты. Наконец, в вещ-х с позитронной активностью происходит аннигиляция, т.е. при столкновении позитронов с электронами вещ-ва частицы превращаются в два гамма-кванта с энергией 0,51 МэВ каждый, поэтому все позитронно-активные изотопы явл. Одновременно источниками гамма-излучений.

Практически важные эффекты обусловленные рассеянием

А. Рассеянное излучение распростр. Во все стороны. Это требует принятия доп. Мер предосторожности. К примеру, при рентгеновском снимке прямой пучок лучей направлен вниз, однако рассеянное в теле больного излучение идет в стороны и вверх, что заставляет принимать меры по защите соседних и даже выше расположенных помещений. Точно так же гамма-излучение, создаваемое реактором подводной лодки, рассеивается в морской воде, и часть его возвращается в отсеки лодки, увеличивая радиационный фон.

Б. Если при измерении ионизирующих излучений измерительный прибор окажется рядом с массивными предметами или стенами, рассеянное в них излучение может существенно исказить результаты измерений.

В. Рассеянное излучение портит рентгеновское изображение. Отклонившиеся от первоначального направления кванты попадают в случайные места экрана или пленки, «засвечивая» ее и делая изображение менее четким и контрастным.

Реферат

Целью данной курсовой работы является изучение особых свойств Гамма-функции Эйлера. В ходе работы была изучена Гамма-функция, её основные свойства и составлен алгоритм вычисления с разной степенью точности. Алгоритм был написан на языке высокого уровня - Си. Результат работы программы сверен с табличным. Расхождений в значениях обнаружено не было.

Пояснительная записка к курсовой работе выполнена в объёме 36 листов. Она содержит таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях переменных и тексты программ для вычисления значений Гамма-функции и для построения графика, а также 2 рисунка.

Для написания курсовой работы было использовано 7 источников.

Введение

Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.

Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода:

Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых специальных функций, знание свойств которой необходимо для изучения многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других.

Благодаря её введению значительно расширяются наши возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение её всё же часто облегчает использование функции Г, хотя бы в промежуточных выкладках.

Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.

1. Бэта-функци я Эйлера

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

Он представляет функцию от двух переменных параметров и : функцию B . Если эти параметры удовлетворяют условиям и ,то интеграл (1.1) будет несобственным интегралом, зависящим от параметров и ,причём особыми точками этого интеграла будут точки и

Интеграл (1.1) сходятся при .Полагая получим:

= - =

т.e. аргумент и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем

Откуда получаем

При целом b = n последовательно применяя (1.2)

при целых = m,= n, имеем

но B(1,1) = 1,следовательно:

Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то

и в результате подстановки , получаем

полагая в(1.1) ,откуда , получим

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки ,получим

2. Гамма-функция

2.1 Определение

Восклицательный знак в математических трудах обычно означает взятие факториала какого-либо целого неотрицательного числа:

n! = 1·2·3·...·n.

Функцию факториал можно еще записать в виде рекурсионного соотношения:

(n+1)! = (n+1)·n!.

Это соотношение можно рассматривать не только при целых значениях n.

Рассмотрим разностное уравнение

Несмотря на простую форму записи, в элементарных функциях это уравнение не решается. Его решение называется гамма-функцией. Гамма-функцию можно записать в виде ряда или в виде интеграла. Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением.

2.2 Интегральное представление

Перейдем к решению этого уравнения. Будем искать решение в виде интеграла Лапласа:

В этом случае правая часть уравнения (2.1) может быть записана в виде:

Эта формула справедлива, если существуют пределы для внеинтегрального члена. Заранее нам не известно поведение образа [(G)\tilde](p) при p®±¥. Предположим, что образ гамма-функции таков, что внеинтегральное слагаемое равно нулю. После того, как будет найдено решение, надо будет проверить, верно ли предположение о внеинтегральном слагаемом, иначе придется искать G(z) как-нибудь по-другому.

Левая часть равенства (2.1) записывается следующим образом:

Тогда уравнение (2.1) для образа гамма-функции имеет вид:

Это уравнение легко решить:

Нетрудно заметить, что найденная функция [(Г)\tilde](p) на самом деле такова, что внеинтегральный член в формуле (2.2) равен нулю.

Зная образ гамма-функции, легко получить и выражение для прообраза:

Это неканоническая формула, для того, чтобы привести ее к виду, полученному Эйлером, надо сделать замену переменной интегрирования: t = exp(-p), тогда интеграл примет вид:

Постоянная C выбирается так, чтобы при целых значениях z гамма-функция совпадала с функцией факториал: Г(n+1) = n!, тогда:

следовательно C = 1. Окончательно, получаем формулу Эйлера для гамма-функции:

Эта функция очень часто встречается в математических текстах. При работе со специальными функциями, пожалуй, даже чаще, чем восклицательный знак.

Проверить, что функция, определенная формулой (2.3), действительно удовлетворяет уравнению (2.1), можно, проинтегрировав интеграл в правой части этой формулы по частям:

2.3 Область определения и полюсы

В подынтегральной функции интеграла (2.3) при экспонента exp(-tz ) при R(z ) > 0 убывает гораздо быстрее, чем растет алгебраическая функция t (z-1) . Особенность в нуле - интегрируемая, поэтому несобственный интеграл в (2.3) сходится абсолютно и равномерно при R (z) > 0. Более того, последовательным дифференцированием по параметру z легко убедиться, что Г(z ) - голоморфная функция при R (z ) > 0. Однако, непригодность интегрального представления (2.3) при R (z ) 0 не означает, что там не определена сама гамма-функция - решение уравнения (2.1).

Рассмотрим поведение Г(z) в окрестности нуля. Для этого представим:

где - голоморфная функция в окрестности z = 0 . Из формулы (2.1) следует:

то есть Г(z) имеет полюс первого порядка при z = 0.

Также легко получить:

то есть в окрестности точки функция Г(z ) также имеет полюс первого порядка.

Таким же образом можно получить формулу:

Из этой формулы следует, что точки z = 0,-1,-2,... - простые полюсы гамма-функции и других полюсов на вещественной оси эта функция не имеет. Нетрудно вычислить вычет в точке z = -n, n = 0,1,2,...:

2.4 Представление Ганкеля через интеграл по петле

Выясним, имеет ли гамма-функция нули. Для этого рассмотрим функцию

Полюсы этой функции и есть нули функции Г(z).

Разностное уравнение для I(z ) легко получить, воспользовавшись выражением для Г(z ):

Выражение для решения этого уравнения в виде интеграла можно получить так же, как было получено интегральное выражение для гамма-функции - через преобразование Лапласа. Ниже приведены вычисления.ни такие же, как и в п.1).ии теграла будут точки ____________________________________________________________________________

После разделения переменных получим:

Проинтегрировав получаем:

Переход к прообразу Лапласа дает:

В полученном интеграле сделаем замену переменной интегрирования:

Тогда

Здесь важно заметить, что подынтегральная функция при нецелых значениях z имеет точку ветвления t = 0. На комплексной плоскости переменной t проведем разрез по отрицательной вещественной полуоси. Интеграл по этой полуоси представим как сумму интеграла по верхнему берегу этого разреза от до 0 и интеграла от 0 до по нижнему берегу разреза. Чтобы интеграл не проходил через точку ветвления, устроим вокруг нее петлю.

Рис1: Петля в интегральном представлении Ганкеля.

В результате получим:

Чтобы выяснить значение постоянной, вспомним, что I(1) = 1, с другой стороны:

Интегральное представление

называется представлением Ганкеля по петле.

Легко видеть, что функция 1/Г(z ) не имеет полюсов в комплексной плоскости, следовательно, гамма-функция не имеет нулей.

С помощью этого интегрального представления можно получить формулу для произведения гамма-функций. Для этого в интеграле сделаем замену переменной , тогда:

2.5 Предельная форма Эйлера

Гамма-функцию можно представить в виде бесконечного произведения. Это можно заметить, если в интеграле (2.3) представить

Тогда интегральное представление гамма-функции:

В этой формуле мы можем поменять пределы - предел интегрирования в несобственном интеграле и предел при внутри интеграла. Приведем результат:

Возьмем по частям этот интеграл:

Если провести эту процедуру n раз, получим:

Переходя к пределу, получим предельную форму Эйлера для гамма-функции:

2.6 Формула для произведения

Ниже понадобится формула, в которой произведение двух гамма-функций представляется через одну гамма-функцию. Выведем эту формулу, используя интегральное представление гамма-функций.

Повторный интеграл представим как двойной несобственный интеграл. Это можно сделать, воспользовавшись теоремой Фубини. В результате получим:

Несобственный интеграл равномерно сходится. Его можно рассматривать, например, как интеграл по треугольнику, ограниченному осями координат и прямой x+y = R при R. В двойном интеграле сделаем замену переменных:

Якобиан этой замены

Пределы интегрирования: u меняется от 0 до ∞, v при этом меняется от 0 до 1. В результате получим:

Перепишем опять этот интеграл как повторный, в результате получим:

где Rp > 0, Rv > 0.

2. Производная гамма функции

Интеграл

сходится при каждом ,поскольку ,и интеграл при сходится.

В области , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можно применить признак Вейрштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слагаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом.Легко видеть что интеграл сходится пов любой области где произвольно. Действительно для всех указанных значений и для всех ,и так как сходится, то выполнены условия признака Вейерштрасса. Таким образом, в области интеграл сходится равномерно.

Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при.Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция непрерывна при и, и покажем,что интеграл:

сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так, чтобы ; тогда при .Поэтому существует число такое, что и на.Но тогда на справедливо неравенство

и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда в силу признака сравнения следует, что интеграл сходится равномерно относительно на . Наконец, интеграл

в котором подынтегральная функция непрерывна в области

Очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом, на интеграл

сходится равномерно, а, следовательно, гамма-функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство

.

Относительно интеграла можно повторить те же рассуждения и заключить, что

По индукции доказывается, что Г-функция бесконечно дифференцируема прии для ее я -ой производной справедливо равенство

Изучим теперь поведение - функции и построим эскиз ее графика. (см. Приложение 1)

Из выражения для второй производной -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте производная при и при , т. е. Монотонно убывает на и монотонно возрастает на . Далее, поскольку , то при . При из формулы следует, что при .

Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .

Положим для, что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0) . Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при функция .

Определив таким образом на , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. Приложение 1.)

Отметим еще раз, что интеграл

определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения .

4. Вычисление некоторых интегралов.

Формула Стирлинга

Применим гамма функцию к вычислению интеграла:

где m > -1,n > -1.Полагая, что ,имеем

и на основании (2.8) имеем

В интеграле

Где k > -1,n > 0,достаточно положить

Интеграл

Где s > 0,разложить в ряд

=

где дзетта функция Римана

Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)

связанные неравенством

Разлагая, в ряд имеем

Переходя к выводу формулы Стирлинга, дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию

(4.2)

Непрерывна на интервале (-1,) монотонно возрастает от до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0.Так как

И так производная непрерывна и положительна во всем интервале ,удовлетворяет условию

Из предыдущего следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,

Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие

Формулу Стирлинга выведем из равенства

полагая ,имеем

,

полагая на конец,,получим

в пределе при т.е. при (см 4.3)

откуда вытекает формула Стирлинга

которую можно взять в виде

где ,при

для достаточно больших полагают

вычисление же производится при помощи логарифмов

если целое положительное число, то и (4.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n

приведем без вывода более точную формулу

где в скобках стоит не сходящийся ряд.

5. Примеры вычисления интегралов

Для вычисления необходимы формулы:

Г()

Вычислить интегралы

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Для вычисления гамма-функции используется аппроксимация её логарифма. Для аппроксимации гамма-функции на интервале x>0 используется следующая формула (для комплексных z):

Г(z+1)=(z+g+0.5) z+0.5 exp(-(z+g+0.5))

Эта формула похожа на аппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для значений g=5 и n=6, проверено, что величина погрешности ε не превышает 2*10 -10 . Более того, погрешность не превышает этой величины на всей правой половине комплексной плоскости: z > 0.

Для получения (действительной) гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная формула Г(z+1)=zГ(z) и вышеприведенная аппроксимация Г(z+1). Кроме того, можно заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму. Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции - логарифма, а не двух - экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма), во-вторых, гамма-функция - быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом снимает вопросы переполнения.

Для аппроксимации Ln(Г(х) - логарифма гамма-функции - получается формула:

log(Г(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+

log(C 0 (C 1 +C 2 /(x+1)+C 3 /(x+2)+...+C 7 /(x+8))/x)

Значения коэффициентов C k - табличные данные (см. в программе).

Сама гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.

Заключение

Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

Список литературы

1. Специальные функции и их приложения:

Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953

2. Математический анализ часть 2:

Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987

3. Сборник задач по математическому анализу:

Демидович Б.П.,М.,Наука,1966

4. Интегралы и ряды специальные функции:

Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983

5. Специальные функции:

Кузнецов, М.,”Высшая школа”,1965

6.Асимптотика и специальные функции

Ф.Олвер, М.,Наука,1990.

7.Зоопарк чудовищ или знакомство со спецмальными функциями

О.М.Киселёв,

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1 - График гамма-функции действительного переменного

Приложение 2 – График Гамма-функции

Таблица – таблица значений гамма-функции при некоторых значениях аргумента.

Приложение 3 – листинг программы, рисующий таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях аргумента.

Приложение 4 – листинг программы, рисующей график гамма-функции

Реферат............................................................. ...................................3

Введение........................................................... ...................................4

Теоретическая часть…………………………………………………….5

Бета функция Эйлера…………………………………………….5

Гамма функция................................................. ...................................8

2.1. Определение………………………………………………...8

2.2. Интегральное представление………………………………8

2.3. Область определения и полюсы…………………………..10

2.4. Представление Ганкеля через интеграл по петле………..10

2.5. Предельная форма Эйлера………………………………...12

2.6. Формула для произведения………………………………..13

Производная гамма функции........................ ..................................15

Вычисление интегралов. Формула Стирлинга...........................18

Примеры вычислений интегралов................... ..................................23

Практическая часть…………………………………………………….24

Заключение....................................................... ..................................25

Список литературы……………………………………………..............26

Приложения……………………………………………………………..27

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

График гамма-функции действительного переменного

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

График Гамма-функции

ТАБЛИЦА

х	g(x)

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

#include

#include

#include

#include

#include

static double cof={

2.5066282746310005,

1.0000000000190015,

76.18009172947146,

86.50532032941677,

24.01409824083091,

1.231739572450155,

0.1208650973866179e-2,

0.5395239384953e-5,

double GammLn(double x) {

lg1=log(cof*(cof+cof/(x+1)+cof/(x+2)+cof/(x+3)+cof/(x+4)+cof/(x+5)+cof/(x+6))/x);

lg=(x+0.5)*log(x+5.5)-(x+5.5)+lg1;

double Gamma(double x) {

return(exp(GammLn(x)));

cout<<"vvedite x";

printf("\n\t\t\t| x |Gamma(x) |");

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

for(i=1;i<=8;i++)

x=x[i]+0.5;

g[i]=Gamma(x[i]);

printf("\n\t\t\t| %f | %f |",x[i],g[i]);

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

printf("\n Dlia vuhoda iz programmu najmite lybyiy klavishy");

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

#include

#include

#include

#include

Double gam(double x, double eps)

Int I, j, n, nb;

Double dze={1.6449340668422643647,

1.20205690315959428540,

1.08232323371113819152,

1.03692775514336992633,

1.01734306198444913971};

Double a=x, y, fc=1.0, s, s1, b;

Printf (“вы ввели неправильные данные, попробуйте снова\n”); return -1.0;

If(a==0) return fc;

For (i=0;i<5;i++)

S=s+b*dze[i]/(i+2.0);

Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;

For (n=1;n<=nb;n++)

For(j=0; j<5; j++)

Si=si+b/(j+1.0);

S=s+si-log(1.0+a/n);

Double dx,dy, xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, miny;

Int n=100, I, gdriver=DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;

Initgraph(&gdriver,&gmode, “ ”);

YN0=getmaxy()-20;

Line(30, getmaxy ()-10,30,30);

Line(20, getmaxy ()-30, getmaxx ()-20, getmaxy ()-30);

}while (Y>30);

}while (X<700);

}while (X<=620);

}while (y>=30);

X=30+150.0*0,1845;

For9i=1;i

Dy=gam(dx,1e-3);

X=30+(600/0*i)/n;

If(Y<30) continue;

X=30+150.0*308523;

Line (30,30,30,10);

Line(620,450,640,450);

Line(30,10,25,15);

Line(30,10,25,15);

Line(640,450,635,445);

Line(640,450,635,455);

Line(170,445,170,455);

Line(320,445,320,455);

Line(470,445,470,455);

Line(620,445,620,455);

Line(25,366,35,366);

Line(25,282,35,282);

Line(25,114,35,114);

Line(25,30,35,30);

Outtexty(20,465,"0");

Outtexty(165,465, "1";

Outtexty(315,465, "2";

Outtexty(465,465, "3";

Outtexty(615,465, "4";

Outtexty(630,465, "x";

Outtexty(15,364, "1";

Outtexty(15,280, "2";

Outtexty(15,196, "3";

Outtexty(15,112, "4";

Outtexty(15,30, "5";

Экспериментально установлено, что g-излучение (см. § 255) не является самостоятельным видом радиоактивности, а только сопровождает a- и b-распады и также возникает при ядерных реакциях, при торможении заряженных частиц, их распаде и т. д. g-Спектр является линейчатым. g-Спектр - это распределение числа g-квантов по энергиям (такое же толкование b-спектра дано в §258). Дискретность g-спектра имеет принципиальное значение, так как является доказательством дискретности энергетических состояний атомных ядер.

В настоящее время твердо установлено, что g-излучение испускается дочерним (а не материнским) ядром. Дочернее ядро в момент своего образования, оказываясь возбуж денным, за время примерно 10 -13 - 10 -14 с, значительно меньшее времени жизни возбужденного атома (примерно 10 -8 с), переходит в основное состояние с испусканием g-излучения. Возвращаясь в основное состояние, возбужденное ядро может пройти через ряд промежуточных состояний, поэтому g-излучение одного и того же радиоактивного изотопа может содержать несколько групп g-квантов, отличающихся одна от другой своей энергией.

При g-излучении А и Z ядра не изменяются, поэтому оно не описывается никакими правилами смещения. g-Излучение большинства ядер является столь коротковолно вым, что его волновые свойства проявляются весьма слабо. Здесь на первый план выступают корпускулярные свойства, поэтому g-излучение рассматривают как поток частиц - g-квантов. При радиоактивных распадах различных ядер g-кванты имеют энергии от 10 кэВ до 5МэВ.

Ядро, находящееся в возбужденном состоянии, может перейти в основное состояние не только при испускании g-кванта, но и при непосредственной передаче энергии возбуждения (без предварительного испускания g-кванта) одному из электронов того же атома. При этом испускается так называемый электрон конверсии. Само явление называется внутренней конверсией. Внутренняя конверсия - процесс, конкурирующий с g-излучением.

Электронам конверсии соответствуют дискретные значения энергии, зависящей от работы выхода электрона из оболочки, из которой электрон вырывается, и от энергии Е, отдаваемой ядром при переходе из возбужденного состояния в основное. Если вся энергия Евыделяется в виде у-кванта, то частота излучения v определяется из извест ного соотношения E=hv. Бели же испускаютЛ электроны внутренней конверсии, то их энергии равны Е-А К, E-A L , ..., где А к, A L , ...- работа выхода электрона из К- и L-оболочек. Моноэнергетичность электронов конверсии позволяет отличить их от b-электронов, спектр которых непрерывен (см. § 258). Возникшее в результате вылета электрона вакантное место на внутренней оболочке атома будет заполняться электро нами с вышележащих оболочек. Поэтому внутренняя конверсия всегда сопровождается характеристическим рентгеновским излучением.

g-Кванты, обладая нулевой массой покоя, не могут замедляться в среде, поэтому при прохождении g-излучения сквозь вещество они либо поглощаются, либо рассеива ются им. g-Кванты не несут электрического заряда и тем самым не испытывают влияния кулоновских сил. При прохождении пучка у-квантов сквозь вещество их энергия не меняется, но в результате столкновений ослабляется интенсивность, изменение которой описывается экспоненциальным законом I = I 0 е - m x (I 0 и I - интенсивности g-излучения на входе и выходе слоя поглощающего вещества толщиной х, m- коэффициент поглощения). Так как g-излучение - самое проникающее излучение, то mдля многих веществ - очень малая величина; mзависит от свойств вещества и от энергии g-квантов.

g-Кванты, проходя сквозь вещество, могут взаимодействовать как с электронной оболочкой атомов вещества, так и с их ядрами. В квантовой электродинамике доказывается, что основными процессами, сопровождающими прохождение g-излучения через вещество, являются фотоэффект, комптон-эффект (комптоновское рассеяние) и образование электронно-позитронных пар.

Фотоэффект, или фотоэлектрическое поглощение g-нзлучення, - это процесс, при котором атом поглощает g-квант и испускает электрон. Так как электрон выбивается из одной из внутренних оболочек атома, то освободившееся место заполняется электронами из вышележащих оболочек, и фотоэффект сопровождается характеристическим рентгеновским излучением. Фотоэффект является преобладающим механизмом поглощения в области малых энергий g-квантов (E g < 100 кэВ). Фотоэффект может идти только на связанных электронах, так как свободный электрон не может поглотить g-квант, при этом одновременно не удовлетворяются законы сохранения энергии и импульса.

По мере увеличения энергии g-квантов (Е g » 0,5 МэВ) вероятность фотоэффекта очень мала и основным механизмом взаимодействия g-квантов с веществом является комптоновское рассеяние (см. § 206).

При Е g >1,02 МэВ = 2m е с 2 (m е - масса покоя электрона) становится возможным процесс образования электронно-позитронных пар в электрических полях ядер. Вероятность этого процесса пропорциональна Z 2 и увеличивается с ростом Е g .Поэтому при Е g » 10 МэВ основным процессом взаимодействия g-излучения в любом веществе является образование электроиво-позитронных пар.

Если энергия g-кванта превышает энергию связи нуклонов в ядре (7-8 МэВ), то в результате поглощения g-кванта может наблюдаться ядерный фотоэффект - выброс из ядра одного из нуклонов, чаще всего нейтрона.

Большая проникающая способность g-излучения используется в гамма-дефектоскопии - методе дефектоскопии, основанном на различном поглощении g-излучения при распространении его на одинаковое расстояние в разных средах. Местоположение и размеры дефектов (раковины, трещины и т. д.) определяются по различию в интенсивностях излучения, прошедшего через разные участки просвечиваемого изделия.

Воздействие g-излучения (а также других видов ионизирующего излучения) на вещество характеризуют дозой ионизирующего излучения. Различаются:

Поглощенная доза излучения - физическая величина, равная отношению энергии излучения к массе облучаемого вещества.

Единица, поглощенной дозы излучения - грей (Гр)*: 1 Гр= 1 Дж/кг - доза из лучения, при которой облученному веществу массой 1 кг передается энергия любого ионизирующего излучения 1 Дж.

Экспозиционная доза излучения - физическая величина, равная отношению суммы электрических зарядов всех ионов одного знака, созданных электронами, освобожденными в облученном воздухе (при условии полного использования ионизирующей способности электронов), к массе этого воздуха.

Единила экспозиционной дозы излучения - кулон на килограмм (Кл/кг); внеси стемной единицей является рентген (Р): 1 Р=2,58× 10 -4 Кл/кг.

Биологическая доза - величина, определяющая воздействие излучения на организм.

Единица биологической дозы - биологический эквивалент рентгена (бэр): 1 бэр - доза любого вида ионизирующего излучения, производящая такое же биоло гическое действие, как и доза рентгеновского или g-излучения в 1 Р (1 бэр= 10 -2 Дж/кг).

Область определения гамма-функции Г(ж) В интеграле (1) имеются особенности двух типов: 1) интегрирование по полупрямой 2) в точке подынтегральная функция обращается в бесконечность. Чтобы разделить эти особенности, представим функцию Г(ж) в виде суммы двух интегралов Гамма-функцией называется интеграл Область определения гамма-функции Некоторые свойства гамма-функции Бета-функция и ее свойства Область определения бета-функции Применение интегралов Эйлера в вычислении определенных интегралов и рассмотрим каждый из них отдельно. Так как то интеграл сходится при (по признаку сравнения). Интеграл сходится при любом х. В самом деле, взяв произвольное, получим, что при любом х При интеграл сходится, следовательно, интеграл сходится при любом x. Тем самым, сходится при и мы доказал и, что областью определения гамма-функции Г(ж) является полупрямая Покажем, что интеграл (1) сходится равномерно по х на любом отрезке Пусть. Тогда при имеем Интегралы в правых частях формул (2) и (3) сходятся, а по признаку Вейерштрасса равномерно сходятся интегралы, стоящие в левых частях неравенств (2) и (3). Следовательно, в силу равенства получаем равномерную сходимость Г(х) на любом отрезке [с, й],где. Из равномерной сходимости Г(ж) вытекает непрерывность этой функции при Некоторые свойства гамма-функции 1. (гамма-функция при х > 0 не имеет нулей). 2. При любом х > 0 имеет место формула приведения для гамма-функции 3. При х = п имеет место формула При х = 1 имеем Пользуясь формулой (4), получим Применяя формулу п раз, при получаем 4. Кривая у = Г(х) выпукла вниз. В самом деле, Отсюда следует, что производная на полупрямой может иметь только один нуль. А так как, то по теореме Ролля этот нуль х0 производной Г"(х) существует и лежит в интервале (1,2). Поскольку, то в точке х0 функция Г(х) имеет минимум. Можно показать, что на (0, +оо) функция Г(х) дифференцируема любое число раз. Из формулы ибо непрерывна и при 6. Формула дополнения. График гамма-функции имеет вид, изображенный на рис. 4. § 4. Бета-функция и ее свойства Бета-функцией называется интеграл зависящий от параметров 4.1. Область определения бета-функции В(х) Подынтегральная функция при имеет две особые точки Для отыскания области определения представим интеграл (7) в виде суммы двух интегралов первый из которых (при) имеет особую точку, а второй (при - особую точку t = 1. Интеграл - несобственный интеграл 2-го рода. Он сходится при условии, что при, а инте!рал Гамма-функцией называется интеграл Область определения гамма-функции Некоторые свойства гамма-функции Бета-функция и ее свойства Область определения бета-функции Применение интегралов Эйлера в вычислении определенных интегралов сходится при Тем самым, бета-функция В(х} у) определена для всех положительных значений хну. Можно доказать, что интеграл (7) равномерно сходится в каждой области х^а>0, У>Ь>Оу так что бета-функция непрерывна при Некоторые свойства бета-функции 1. При справедлива формула Бета-функция является симметричной относительно хну, Это следует из формулы (9). §5. Применение интегралов Эйлера в вычислении определенных интегралов Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Вычислить интеграл 4 Введем замену получаем Поэтому Пример 2. Вычислить интеграл Положим, тогда, пределы интегрирования остаются прежними, так что заданный интеграл сводится к бета-функции: Пример 3. Исходя из равенства вычислить интеграл Здесь мы воспользовались определением бета-функции и формулами Упражнения Вычислите пределы: Найдите производные F"(y) для следующих функций: о. Исходя из равенства. вычислите интеграл 7. Используя равенство, путем дифференцирования по параметру получите следующую формулу: 8. Докажите, что интеграл РавномеРно сходится по у на всей вещественной оси. 7 dx 9. Докажи те, что интеграл сходится равномерно по параметру s на любом отрезке 10. Используя равенство вычислите путем дифференцирования по параметру интеграл С помощью Эйлеровых интегралов вычислите следующие интегралы: Выразите через Эйлеровы интегралы: Гамма-функцией называется интеграл Область определения гамма-функции Некоторые свойства гамма-функции Бета-функция и ее свойства Область определения бета-функции Применение интегралов Эйлера в вычислении определенных интегралов целое положительное) Докажем, что интеграл равномерно сходится на всей вещественной оси: 1) имеет место соотношение всякого в качестве Л(е), упоминаемого в определении несобственного интеграла, равномерно сходящегося по параметру у, можно взять При В > А будем иметь Докажем, что интеграл /(«) = / равномерно сходится при а Так как при О 1 и интеграл сходится, то по достаточному признаку Вейерштрасса заключаем, чгто данный интеграл рав- номерно сходится. 10. Имеем Дифференцируя п раз о