Дроби бывают обыкновенные и десятичные. Когда школьник узнает о существовании последних, он начинает при каждом удобном случае переводить все, что возможно, в десятичный вид, даже если этого не требуется.

Как ни странно, у старшеклассников и студентов предпочтения меняются, потому что проще выполнять многие арифметические действия с обыкновенными дробями. Да и значения, с которыми имеют дело выпускники, преобразовать в десятичный вид без потерь порой бывает попросту невозможно. В результате оба вида дробей оказываются, так или иначе, приспособлены к делу и обладают своими преимуществами и недостатками. Посмотрим, как с ними работать.

Определение

Дроби - это те же доли. Если в апельсине десять долек, а вам дали одну, то у вас в руке 1/10 часть фрукта. При такой записи, как в предыдущем предложении, дробь будет называться обыкновенной. Если написать то же самое как 0,1 - десятичной. Оба варианта являются равноправными, однако имеют свои преимущества. Первый вариант удобнее при умножении и делении, второй - при сложении, вычитании и в ряде других случаев.

Как перевести дробь в другой вид

Предположим, у вас есть обыкновенная дробь, и вы хотите сделать из неё десятичную. Что для этого нужно сделать?

К слову сказать, нужно заранее определиться, что не любое число можно без проблем записать в десятичном виде. Иногда приходится результат округлять, теряя некоторое количество знаков после запятой, а во многих областях - например, в точных науках - это совершено непозволительная роскошь. В то же время действия с десятичными и обыкновенными дробями в 5 классе позволяют осуществлять такой перевод из одного вида в другой без помех, хотя бы в качестве тренировки.

Если из знаменателя путём умножения или деления на целое число можно получить значение, кратное 10, перевод пройдёт без каких-либо трудностей: ¾ превращается в 0,75, 13/20 - в 0,65.

Обратная процедура выполняется ещё проще, поскольку из десятичной дроби можно всегда получить обыкновенную без потерь в точности. Например, 0,2 становится 1/5, а 0,08 - 4/25.

Внутренние преобразования

Прежде чем осуществлять совместные действия с обыкновенными дробями, нужно подготовить числа к возможным математическим операциям.

Перво-наперво нужно привести все имеющиеся в примере дроби к одному общему виду. Они должны быть либо обыкновенными, либо десятичными. Сразу оговоримся, что умножение и деление удобнее выполнять с первыми.

В подготовке чисел к дальнейшим действиям вам поможет правило, известное как и используемое как в первые годы изучения предмета, так и в высшей математике, которую изучают в университетах.

Свойства дробей

Предположим, у вас есть некоторое значение. Скажем, 2/3. Что изменится, если вы умножите числитель и знаменатель на 3? Получится 6/9. А если на миллион? 2000000/3000000. Но постойте, ведь число качественно совершенно не меняется - 2/3 остаются равны 2000000/3000000. Меняется только форма, но не содержание. То же самое произойдёт при делении обеих частей на одно и то же значение. В этом и заключается основное свойство дроби, которое неоднократно поможет вам производить действия с десятичными и обыкновенными дробями на контрольных и экзаменах.

Умножение числителя и знаменателя на одно и то же число называется расширением дроби, а деление - сокращением. Надо сказать, что зачеркивание одинаковых чисел в верхней и нижней части при перемножении и делении дробей - удивительно приятная процедура (в рамках урока математики, конечно). Создается впечатление, что ответ уже близок и пример практически решен.

Неправильные дроби

Неправильной дробью называется такая, у которой числитель больше или равен знаменателю. Иными словами, если у неё можно выделить целую часть, она попадает под это определение.

Если такое число (большее либо равное единице) представлено в виде обыкновенной дроби, она будет называться неправильной. А если числитель меньше знаменателя - правильной. Оба вида одинаково удобны при осуществлении возможных действий с обыкновенными дробями. Их можно беспрепятственно умножать и делить, складывать и вычитать.

Если же одновременно выделена целая часть и при этом имеется остаток в виде дроби, полученное число будет называться смешанным. В будущем вы столкнетесь с различными способами комбинации таких структур с переменными, а также решением уравнений, где потребуются эти знания.

Арифметические операции

Если с основным свойством дроби всё ясно, то как вести себя при перемножении дробей? Действия с обыкновенными дробями в 5 классе подразумевают все виды арифметических операций, которые выполняются двумя различными способами.

Умножение и деление выполняются очень просто. В первом случае просто перемножаются числители и знаменатели двух дробей. Во втором - то же самое, только крест-накрест. Таким образом, числитель первой дроби умножается на знаменатель второй, и наоборот.

Для выполнения сложения и вычитания нужно произвести дополнительное действие - привести все компоненты выражения к общему знаменателю. Это значит, что нижние части дробей должны быть изменены до одинакового значения - числа, кратного обоим имеющимся знаменателям. Например, для 2 и 5 это будет 10. Для 3 и 6 - 6. Но что тогда делать с верхней частью? Мы же не можем оставить её в прежнем виде, если изменили нижнюю. Согласно основному свойству дроби мы умножим числитель на то же число, что и знаменатель. Эта операция должна быть произведена с каждым из чисел, которые мы будем складывать или вычитать. Впрочем, такие действия с обыкновенными дробями в 6 классе выполняются уже «на автомате», а трудности возникают только на начальном этапе изучения темы.

Сравнение

Если у двух дробей одинаковый знаменатель, то больше будет та из них, числитель которой больше. Если же одинаковы верхние части, то больше будет та, у которой меньше знаменатель. Стоит иметь в виду, что столь удачные ситуации для сравнения выпадают нечасто. Скорее всего, и верхние, и нижние части выражений совпадать не будут. Тогда понадобится вспомнить про возможные действия с обыкновенными дробями и использовать приём, применяемый при сложении и вычитании. Кроме того, помните, что если мы говорим об отрицательных числах, то большая по модулю дробь окажется меньшей.

Преимущества обыкновенных дробей

Случается, что преподаватели говорят детям одну фразу, содержание которой можно выразить так: чем больше информации дано при формулировке задания, тем проще будет решение. Кажется, что звучит странно? Но действительно: при большом количестве известных величин можно пользоваться практически любыми формулами, а вот если предоставлена лишь пара чисел, могут потребоваться дополнительные размышления, придётся вспоминать и доказывать теоремы, приводить аргументы в пользу своей правоты…

К чему мы это? Да к тому, что обыкновенные дроби при всей своей громоздкости могут сильно упростить жизнь ученику, позволяя при перемножении и делении сокращать целые строки значений, а при расчёте суммы и разности выносить общие аргументы и, опять же, сокращать их.

Когда требуется осуществить совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями, трансформации осуществляются в пользу первых: как вы переведете 3/17 в десятичный вид? Только с потерями информации, не иначе. А вот 0,1 можно представить как 1/10, а далее - как 17/170. И тогда два получившихся числа можно складывать или вычитать: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Чем полезны десятичные дроби

Если действия с обыкновенными дробями осуществлять и сподручнее, то записывать все с их помощью крайне неудобно, десятичные здесь имеют существенное преимущество. Сравните: 1748/10000 и 0,1748. Это одно и то же значение, представленное в двух различных вариантах. Разумеется, второй способ проще!

Кроме того, десятичные дроби проще представить, поскольку все данные имеют общее основание, различающееся исключительно на порядки. Скажем, скидку в 30% мы легко осознаем и даже оценим как значительную. А сразу ли вы поймете, что больше - 30% или 137/379? Таким образом, десятичные дроби обеспечивают стандартизацию расчётов.

В старших классах ученики решают квадратные уравнения. Выполнять действия с обыкновенными дробями здесь уже крайне проблематично, поскольку формула для расчёта значений переменной содержит квадратный корень из суммы. При наличии дроби, не сводимой к десятичной, решение усложняется настолько, что рассчитать точный ответ без калькулятора становится практически невозможно.

Итак, каждый способ представления дробей имеет свои преимущества в соответствующем контексте.

Формы записи

Существует два способа записи действий с обыкновенными дробями: через горизонтальную черту, в два «яруса», и через наклонную черту (она же - «слэш») - в строку. Когда ученик пишет в тетради, первый вариант обычно удобнее, а потому и более распространен. Распределение рядом цифр по клеточкам способствует развитию внимательности при расчётах и проведении преобразований. При записи в строку можно по невнимательности перепутать порядок действий, потерять какие-либо данные - то есть, ошибиться.

Достаточно часто в наше время возникает необходимость напечатать числа на компьютере. Разделять дроби традиционной горизонтальной чертой можно, используя функцию в программе «Майкрософт Ворд» 2010 и более позднего года выпуска. Дело в том, что в этих версиях софта есть опция под названием «формула». Она выводит на экран прямоугольное трансформируемое поле, в рамках которого можно комбинировать любые математические символы, составлять и двух-, и «четырехэтажные» дроби. В знаменателе и числителе можно пользоваться скобками, знаками операций. В результате вы сможете записать любые совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями в традиционной форме, т. е. так, как это учат делать в школе.

Если же вы будете пользоваться стандартным текстовым редактором «Блокнот», то все дробные выражения нужно будет писать через наклонную черту. Другого способа здесь, к сожалению, не предусмотрено.

Заключение

Вот мы и рассмотрели все основные действия с обыкновенными дробями, которых, оказывается, не так уж и много.

Если поначалу может казаться, что это сложный раздел математики, то это только временное впечатление - помните, когда-то вы так думали про таблицу умножения, а ещё раньше - про обычные прописи и счёт от одного до десяти.

Важно понимать, что дроби используются в повседневной жизни повсюду. Вы будете иметь дело с деньгами и инженерными расчётами, информационными технологиями и музыкальной грамотой, и везде - везде! - дробные числа будут фигурировать. Поэтому не поленитесь и изучите эту тему хорошенько - тем более не такая уж она и сложная.

491. 1)

· 3

- 4

· 4

2)

: 13

+ 6

:

: 2

: 2

неизвестное число.

неизвестное число.

то получится 100. Найти число.

499*. Если неизвестное число увеличить на 2 / 3 его, то получится 60. Какое это число?

Найти неизвестное число.

_____________________________________________________________

501. 1) Урожай картофеля при квадратно-гнездовой посадке составляет в среднем 150 ц с 1 га, а при обычной посадке этого количества. На сколько больше можно собрать картофеля с площади в 15 га, если посадку картофеля производить квадратно-гнездовым способом?

2) Опытный рабочий изготовил за 1 час 18 деталей, а малоопытный 2 / 3 этого количества. На сколько больше деталей изготовит опытный рабочий за 7-часовой рабочий день?

502. 1) Пионеры собрали в течение трёх дней 56 кг разных семян. В первый день было собрано 3 / 14 всего количества, во второй - в полтора раза больше, а в третий день - остальное зерно. Сколько килограммов семян собрали пионеры в третий день?

2) При размоле пшеницы получилось: муки 4 / 5 всего количества пшеницы, манной крупы - в 40 раз меньше, чем муки, а остальное - отруби. Сколько муки, манной крупы и отрубей в отдельности получилось при размоле 3 т пшеницы?

503. 1) В трёх гаражах помещается 460 машин. Число машин помещающихся в первом гараже составляет 3 / 4 числа машин помещающихся во втором, а в третьем гараже в 1 1 / 2 раза больше машин, чем в первом. Сколько машин помещается в каждом гараже?

2) На заводе, имеющем три цеха, работает 6 000 рабочих. Во втором цехе работает в 1 1 / 2 раза меньше, чем в первом, а число рабочих третьего цеха составляет 5 / 6 числа рабочих второго цеха. Сколько рабочих в каждом цехе?

504. 1) Из резервуара с керосином отлили вначале 2 / 5 , потом 1 / 3 всего керосина и после этого в резервуаре осталось 8 т керосина. Сколько керосина было в резервуаре первоначально?

2) Велосипедисты вели гонку в течение трёх дней. В первом день они проехали 4 / 15 всего пути, во второй 2 / 5 , а в третий день оставшиеся 100 км. Какой путь проехали велосипедисты за три дня?

505. 1) Ледокол три дня пробивался через ледяное поле. В первый день он прошёл 1 / 2 всего пути, во второй день 3 / 5 оставшегося пути и в третий день - остальные 24 км. Найти длину пути, пройденного ледоколом за три дня.

2) Три отряда школьников производили посадку деревьев. Первый отряд посадил 7 / 20 всех деревьев, второй 5 / 8 оставшихся деревьев, а третий - остальные 195 деревьев. Сколько всего деревьев посадили три отряда?

506 . 1) Комбайнер убрал урожай пшеницы с одного участка за три дня. В первый день он убрал урожай с 5 / 18 всей площади участка, во второй день с 7 / 13 оставшейся площади и в третий день - с остальной площади в 30 1 / 2 га. В среднем с каждого гектара собрано 20 ц пшеницы. Сколько пшеницы было собрано а всём участке?

2) Участники автопробега в первый день прошли 3 / 11 всего пути, во второй день 7 / 20 оставшегося пути, в третий день 5 / 13 нового остат­ка, а в четвёртый день - остальные 320 км. Как велик путь автопробега?

507. 1) Автомобиль прошёл в первый день 3 / 8 всего пути, во второй 15 / 17 того, что прошел в первый, и в третий день - осталь­ные 200 км. Сколько бензина было израсходовано, если на 10 км пути автомобиль расходует 1 3 / 5 кг бензина?

2) Город состоит из четырёх районов. В первом районе живёт 4 / 13 всех жителей города, во втором 5 / 6 числа жителей первого района, в третьем 4 / 11 числа жителей первых двух районов, вместе взятых, а в четвёртом районе живёт 18 тысяч человек. Сколько хлеба требуется всему населению города на 3 дня, если в среднем один человек потребляет 500 г в день?

508. 1) Турист прошёл в первый день 10 / 31 всего пути, во второй 9 / 10 того, что прошёл в первый день, а в третий - остальную часть пути, причём в третий день он прошёл на 12 км больше, чем во второй день. Сколько километров прошёл турист в каж­дый из трёх дней?

2) Весь путь от города А до города Б автомобиль прошёл за три дня. В первый день автомобиль прошёл 7 / 20 всего пути, во второй 8 / 13 оставшегося пути, а в третий день автомобиль прошёл на 72 км меньше, чем в первый день. Каково расстояние между городами А и Б?

509 . 1) Исполком отвёл землю рабочим трёх заводов под садовые участки. Первому заводу было отведено 9 / 25 всего количества участков, второму заводу 5 /9 числа участков, отведенных для первого, а третьему - остальные участки. Сколько всего участков было отведено рабочим трёх заводов, если первому заводу было отведено на 50 участков меньше, чем третьему?

2) Самолёт доставил смену зимовщиков на полярную станцию из Москвы за три дня. В первый день он пролетел 2 / 5 всего пути, во второй 5 / 6 пути, пройденного им за первый день, а в третий день он пролетел на 500 км меньше, чем во второй день. Какое расстояние пролетел самолёт за тpи дня?

510 . 1) Завод имел три цеха. Число рабочих первого цеха составляет 2 / 5 всех рабочих завода; во втором цехе рабочих в 1 1 / 2 раза меньше, чем в первом, а в третьем цехе на 100 рабо­чих больше, чем во втором. Сколько всего рабочих на заводе?

2) В колхоз входят жители трёх соседних сёл. Число семей первого села составляет 3 / 10 всех семей колхоза; во втором селе число семей в 1 1 / 2 раза больше, чем в первом, а в третьем селе число семей на 420 меньше, чем во втором. Сколько всего семей в колхозе?

511 . 1) Артель израсходовала в первую неделю 1 / 3 имевшегося у неё запаса сырья, а во вторую 1 / 3 остатка. Сколько сырья осталось в артели, если в первую неделю расход сырья был на 3 / 5 т больше, чем во вторую неделю?

2) Из завезённого угля для отопления дома в первый месяц была израсходована 1/ 6 его часть, а во второй месяц 3 / 8 остатка. Сколько угля осталось для отопления дома, если во второй месяц было израсходовано на 1 3 / 4 т больше, чем в первый месяц?

512 . 3 / 5 всей земли колхоза отведено под посев зерна, 13 / 36 остатка занято огородами и лугом, остальная земля -лесом, причём посевная площадь колхоза на 217 га больше площади леса, 1 / 3 земли, отведённой под посевы зерна, засеяна рожью, а остальная - пшеницей. Сколько гектаров земли засеял колхоз пшеницей и сколько рожью?

513. 1) Трамвайный маршрут имеет в длину 14 3 / 8 км. На протяжении этого маршрута трамвай делает 18 остановок, затрачивая в среднем на каждую остановку до 1 1 / 6 мин. Средняя скорость движения трамвая на всём маршруте 12 1 / 2 км в час. Сколько времени требуется трамваю для совершения одного рейса?

2) Маршрут автобуса 16 км. На протяжении этого маршрута автобус делает 36 остановок, по 3 / 4 мин. в среднем каждая. Сред­няя скорость автобуса 30 км в час. Сколько времени требуется автобусу на один маршрут?

514*. 1) Сейчас 6 часов вечера. Какая часть суток осталась и какую часть она составляет от прошедшей части суток?

2) Пароход по течению проходит расстояние между двумя городами за 3 сут. и обратно это же расстояние за 4 сут. Сколько суток будут плыть по течению плоты от одного города до другого?

516 . Найти среднее арифметическое чисел:

Сколько километров в среднем он про­ходил в час?

519. 1) Тракторист выполнил задание по вспашке земли за три дня. В первый день он

земли вспахал тракторист за день?

2) Отряд школьников, совершая туристский трёхдневный по­ход, находился в пути в первый

находились ежедневно в пути школьники?

520. 1) В доме живут три семьи. Первая семья для осве­щения квартиры имеет 3 электрические лампочки, вторая 4 и третья 5 лампочек. Сколько должна заплатить каждая семья за электроэнергию, если все лампы были одинаковы, а общий счёт (на весь дом) оплаты электроэнергии был 7 1 / 5 руб.?

2) Полотёр натирал полы в доме, где жили три семьи. Первая семья имела жилую площадь

2 руб. 08 коп. Сколько уплатила каждая семья?

картофеля в среднем собрано с каждого куста?

2) Если сложить числа, выражающие ширину Татарского и ширину Керченского проливов

каждого пролива?

2) Острова Новая Земля, Сахалин и Северная Земля вместе занимают площадь

перечисленных островов?

площадь третьей. Какова площадь второй комнаты?

день. Сколько часов велосипедист был в пути во второй день соревнований?

каждый кусок железа?

крупы, то в обоих ящиках станет крупы поровну. Сколько крупы в каждом ящике?

в каждом ящике?

Какова скорость течения реки?

529 . 1) В двух гаражах 110 машин, причём в одном из них в 1 1 / 5 раза больше, чем в другом. Сколько машин в каждом гараже?

____________________________________________________________

530 . 1) Сплав, состоящий из меди и серебра, весит 330 г. Вес меди в этом сплаве

Найти эти числа.

Найти эти числа.

учеников в классе по списку, если присутствует на 20 человек больше, чем отсутствует?

сколько сыну?

535 . Знаменатель дроби на 11 единиц больше её числителя. Чему равна дробь, если её

№ 536-№ 537 устно.

второе число?

число? Какую часть второго числа составляет первое?

мальчиком, численно равны - числа грибов, собранных вторым мальчиком. Сколько грибов собрал каждый мальчик?

2) В учреждении работает 27 человек. Сколько работает мужчин и сколько женщин,

540*. Три мальчика купили волейбольный мяч. Определить взнос каждого мальчика, зная,

третьего мальчика больше взноса первого на 64 коп.

второго числа.

_______________________________________

542 .1) Первая бригада может выполнить некоторую работу за 36 дней, а вторая за 45 дней. За сколько дней обе бригады, работая вместе, выполнят эту работу?

2) Пассажирский поезд проходит расстояние между двумя городами за 10 час, а товарный это расстояние проходит за 15 час. Оба поезда вышли одновременно из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?

обоих городов одновременно навстречу друг другу? (Ответ округлить с точностью до 1 часа.)

2) Два мотоциклиста выехали одновременно из двух городов навстречу друг другу. Один мотоциклист может проехать всё расстояние между этими городами за 6 час, а другой за 5 час. Через сколько часов после выезда встретятся мотоциклисты? (Ответ округлить с точностью до 1 часа.)

544 . 1) Три автомобиля различной грузоподъёмности могут перевезти некоторый груз,

работая отдельно: первый -за 10 час, второй-за 12 час. и третий - за 15 час. За сколько часов они могут перевезти тот же груз, работая совместно?

2) Из двух станций выходят одновременно навстречу друг другу два поезда: первый поезд

часов после выхода поезда встретятся?

545 . 1) К ванне подведены два крана. Через один из них ванна может наполниться за

открыть сразу оба крана?

2) Две машинистки должны перепечатать рукопись. Первая машинистка может выполнить

ма­шинистки, если они будут работать одновременно?

546. 1) Бассейн наполняется первой трубой за 5 час, а через вторую трубу он может быть опорожнен за 6 час. Через сколько часов будет наполнен весь бассейн, если одновременно открыть обе трубы?

У к а з а н и е. За час бассейн наполняется на (1 / 5 - 1 / 6) своей ёмкости.

2) Два трактора вспахали поле за 6 час. Первый трактор, работая один, мог бы вспахать это поле за 15 час. За сколько часов вспахал бы это поле второй трактор, работая один?

547 *. Из двух станций выходят одновременно навстречу друг другу два поезда и встречаются через 18 час после свое­го выхода. За сколько времени второй поезд проходит расстоя­ние между станциями, если первый поезд проходит это расстоя­ние за 1 сутки 21 час?

548 *. Бассейн наполняется двумя трубами. Сначала открыли первую трубу, а затем через

совместной работы бассейн наполнился. Определить вместимость бассейна, если через вторую трубу вливалось 200 вёдер воды в час.

______________________________________________________________________________

Ленин­градом 650 км?

2) От колхоза до города 24 км. Из колхоза выехала грузовая машина, которая проходит 1 км за

со скоростью вдвое меньшей, чем скорость грузовой машины. Через сколько времени после своего выезда велосипедист встре­тится с грузовой машиной?

Через сколько часов после выхода пешехода его догонит велоси­педист?

сколько времени скорый поезд догонит товарный?

551 . 1) Из двух колхозов, через которые проходит дорога в районный центр, выехали

расстояние между колхозами.

большей скорости поезда. Через сколько часов после своего вылета само­лет нагонит поезд?

552 . 1) Расстояние между городами по реке 264 км. Это расстояние пароход прошёл

стоял катер на каждой остановке?

554 . Из Ленинграда в Кронштадт в 12 час. дня вышел пароход и прошёл всё

первый.В котором часу прои­зошла встреча обоих пароходов?

555 . Поезд должен был пройти расстояние в 630 км за 14 час. Пройдя 2 / 3 этого расстояния, он был задержан на 1 час 10 мин. С какой скоростью он должен продолжать путь, чтобы прийти к месту назначения без опоздания?

556 . В 4 часа 20 мин. утра из Киева в Одессу вышел товарный поезд со средней

если рас­стояние между Киевом и Одессой 663 км?

557* . Часы показывают полдень. Через сколько времени часо­вая и минутная стрелки совпадут?

_____________________________________

школе на 420 учащихся меньше, чем во второй. Сколько всего учащихся в трёх школах?

559. 1) Два комбайнера работали на одном участке. После того, как один комбайнер убрал

га больше, чем второй. В среднем с каждого гектара намо­лачивали по 32 1 / 2 ц зерна. Сколько центнеров зерна намолотил каждый комбайнер?

причём у первого было на 2 руб. 25 коп. больше, чем у второго. Каждый уплатил поло­вину стоимости аппарата. Сколько денег осталось у каждого?

560. 1) Из города А в город Б, расстояние между которыми 215 км, вышел легковой автомобиль со скоростью 50 км в час. Одновременно с ним из города Б в город А вышел грузовой автомобиль. Сколько километров прошёл легковой автомобиль до встречи с

2) Между городами А и Б 210 км. Из города А в город Б вышла легковая машина. Одновременно с ней из города Б в город А вышла грузовая машина. Сколько километров прошла грузовая машина до встречи с легковой, если легковая машина шла со скоростью 48 км в час, а

561. Колхоз собрал урожай пшеницы и ржи. Пшеницей было засеяно на 20 га больше, чем

хлеб оставил для удовлетворения своих нужд. Сколько потребовалось совершить рейсов двухтонным машинам для вывоза проданного государству хлеба?

562. На хлебозавод привезли ржаную и пшеничную муку. Вес пшеничной муки составил 3 / 5 веса ржаной муки, причём ржаной муки привезено на 4 т больше, чем пшеничной. Сколько пшеничного и сколько ржаного хлеба будет выпечено хлебозаводом из этой

первые два дня вместе. Найти длину шоссе между колхозами.

______________________________________________________________

564 . Заполнить свободные места в таблице, где S - пло­щадь прямоугольника, а - осно­вание прямоугольника, a h - вы­сота (ширина) прямоугольника.

Найти периметр и пло­щадь участка.

периметр и площадь участка.

площадь прямоугольника.

567.

567. Вычислить площади фигур, изображённых на рисунке 30, разбив их на прямоугольники и найдя измерением размеры пря­моугольника.

фасолью. Сколько семян потребо­валось для засева участка, если на 1 га высевали 1 ц?

2) С поля прямоугольной формы собрали урожай пшеницы по 25 ц с 1 га. Сколько было собрано пшеницы со всего поля, если длина поля 800 м, а ширина равна 3 / 8 его длины?

площади занято строениями. Опреде­лить площадь земли под строениями.

колхоз предполагает разбить сад. Сколько деревьев будет посажено в этом саду, если под каж­дое дерево в среднем нужно отвести площадь в 36 кв. м?

571 . 1) Для нормального освещения дневным светом комнаты необходимо, чтобы площадь

2) Используя условие предыдущей задачи, выясните, доста­точно ли света в вашем классе.

2) Поленница дров имеет форму прямоугольного параллеле­пипеда, размеры которого

в бассейн.

574 . Вокруг прямоугольного участка земли, длина которого 75 м и ширина 45 м, надо построить забор. Сколько кубометров досок должно пойти на его устройство, если

________________________________________________________________________________

575. 1) Какой угол составляют минутная и часовая стрелки в 13 час? в 15 час? в 17 час? в 21 час? в 23 часа 30 мин.?

2) На сколько градусов повернётся часовая стрелка за 2 часа? 5 час? 8 час? 30 мин.?

окружности?

576. 1) Начертите с помощью транспортира: а) прямой угол; б) угол в 30°; в) угол в 60°; г) угол в 150°; д) угол в 55°.

2) Измерьте с помощью транспортира углы фигуры и найди­те сумму всех углов каждой фигуры (рис. 31).

577 . Выполнить действия:

1) 36º15"+43º30" 2) 53º29" + 20º41"

3) 16º+23º07" +33º56" 4) 36º15" – 21º11"

5) 48º-19º52" 6) 51º12"-37º45"

7) 17º12·3 8) 39º18·4

9) 13º53"·5 10) 42º22":2

11)58º3":3 12) 49º24":4

578. 1) Полуокружность разделена на две дуги, из которых одна на 100º больше другой. Найти величину каждой дуги.

2) Полуокружность разделена на две дуги, из которых одна на 15° меньше другой. Найти величину каждой дуги.

3) Полуокружность разделена на две дуги, из которых одна в два раза больше другой. Найти величину каждой дуги.

4) Полуокружность разделена на две дуги, из которых одна в 5 раз меньше другой. Найти величину каждой дуги.

___________________________________________________________________________

579. 1) На диаграмме «Грамотность населения в СССР» (рис. 32) изображено число грамотных, приходящихся на сто человек населения. По данным диаграммы и её масштабу определить число грамотных мужчин и женщин для каждого из указанных годов.

2) Используя данные диаграммы «Советские, посланцы в кос­мос» (рис. 33), составить задачи.

580. 1) По данным секторной диаграммы «Режим дня для ученика V класса» (рис. 34) заполнить таблицу и ответить на вопросы: какая часть суток отводится на сон? на домашние за­нятия? на занятия в школе?

2) Построить секторную диаграмму о режиме своего дня.

Возьмём отрезок a . Чтобы найти его длину, выберем в качестве единицы длины отрезок е. (рис. 1) При

измерении оказалось, что длина отрезка е

а больше 3 е , но меньше 4 е . Поэтому её е1

нельзя выразить натуральным числом рис 1

(при единице длины е ). Но если разбить отрезок е на 4 равные части, каждая из которых равна е 1 , то длина отрезка а окажется равной 14е1 . Если же вернуться к первоначальной единице длины е , то мы должны сказать, что отрезок а состоит из 14 отрезков, равных четвёртой части отрезка е , т.е., говоря о длине отрезка а , мы вынуждены оперировать двумя натуральными числами 14 и 4 . Условились в такой ситуации длину отрезка записывать в виде 14/4 е , а символ называть дробью.

В общем виде понятие дроби определяют так: пусть даны отрезок а и единичный отрезок е , причём отрезок е является суммой n отрезков, равных е 1 . Если отрезок а состоит из m отрезков, равных е 1 , то его длина может быть представлена в виде е . Символ называют дробью, в нём m и n - натуральные числа. Читают этот символ «эм энных».

Вернёмся к рис.1 . Выбранный отрезок е 1 есть четвёртая часть отрезка е . Очевидно, что это не единственный вариант выбора такой доли отрезка е , которая укладывается целое число раз в отрезке а . Можно взять восьмую часть отрезка е , тогда отрезок а будет состоять из 28 28/8 е . Можно взять шестнадцатую часть отрезка е , тогда отрезок а будет состоять из 56 таких долей и его длина будет равна е . Если представить себе этот процесс продолженным неограниченно, получим, что длина отрезка а может быть выражена бесконечным множеством различных дробей: 14/4, 28/8 , 56/16 ,…

Вообще, если при единице длины е длина отрезка а выражается дробью, то она может быть выражена любой дробью, где k- натуральное число.

Определение. Дроби, выражающие длину одного и того же отрезка при единице длины е , называют равными дробями.

Если дроби и равны, то пишут: = . Например, дроби 14/4 и 28/8 выражают длину одного и того же отрезка при единице длины е , следовательно, 14/4 = 28/8 .

Существует признак, пользуясь которым определяют, равны ли данные дроби:

Для того, чтобы дроби m / n и p / q были равны, необходимо и достаточно, чтобы mq = np.

1. Покажем, что m / n = p / q => mq = np . Так как m / n = p / q для любого натурального q , а p / q = pn / qn для любого натурального n , то, из равенства дробей m / n и p / q следует равенство mq / nq = pn / qn , из которого в свою очередь вытекает, что mq = np .

2. Покажем, что mp = pq => m / n = p / q . Если разделить обе части истинного равенства mq = np на натуральное число nq , то получим истинное равенство mq / nq = np / nq . Но mq / nq = m / n , а np / nq = p / q , => m / n = p / q .

Пример.Определим, равны ли дроби 17/19 и 23/27 . Для этого сравним произведения 17*27 и 19*23 ; 17*27=459 , 19*23=437 . Так как 459 ¹ 437 , то 17/19 ¹ 23/27.

Из рассмотренных ниже фактов вытекает основное свойство дроби:

Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и тоже натуральное число, то получится дробь, равная данной.

На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

Сокращение дробей- это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой . Например, 3/19 - несократимая дробь.

Пример. Сократим дробь 48/80 . Чтобы получить равную ей несократимую дробь, необходимо числитель и знаменатель данной дроби разделить на их наибольший общий делитель. Найдем его: Д (48;80 ) = 16 . Разделив 48 на 16 и 80 на 16 , получаем, что 48/80 = 3/5. Дробь 3/5 - несократимая.

Приведение дробей к общему знаменателю- это замена дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели.

Общим знаменателем двух дробей m / n и p / q является общее кратное чисел n и q , а наименьшим общим знаменателем- их наименьшее общее кратное К (n , q ).

Пример. Приведём к НОЗ дроби 8/15 и 4/35. Разложим числа 15 и 35 на простые множители: 15 =3*5 , 35 =5*7 . Тогда К (15,35 )=3*5*7 =105 . Поскольку 105=15*7=35*3 , то = 8/15 = 8*7/15*7 = 56/105, 4/35 = 4*3/35*3 = 12/105 .

Сложение и вычитание

Пусть отрезки a , b , c таковы, что c = a + b и при выбранной единице длины e a = е, b= e (рис.2). тогда c = a + b = e + e = 6 e 1 = 7 e 1 = (6+7)*е 1 = 13е 1 = е 1 , т.е. длина отрезка е выражается числом, которое целесообразно рассматривать, как сумму чисел 6/4 и 7/4 .

Определение: Если положительные рациональные числа представлены дробями m/n и p/n , то суммой чисел a и b называется число, представляемое дробью m+p/n .

m/n + p/n = m+p/n (1)

Если положительные рациональные числа представлены дробями с разными знаменателями, то эти дроби приводят к НОЗ , а потом складывают по правилу (1 ). Например: 5/12+2/15=25/60+8/60=25+8/60=33/60=11/20 .

Сумма любых двух положительных чисел существует и единственна. Сложение положительных рациональных чисел подчиняется переместительному и сочетательному законам:

a+b=b+a для любых a,b, Î Q+

(a+b)+c = a+(b+c) для любых a,b,c Î Q+

Различают правильные и неправильные дроби. Дробь называют правильной, если её числитель меньше знаменателя, и неправильной, если её числитель больше знаменателя или равен ему.

Пусть m / n - неправильная дробь. Тогда m ³ n . Если m кратно n ,то в этом случае дробь m / n является записью натурального числа. Например, если дана дробь 15/3 , то 15/3 =5 . Если число m не кратно n , то разделим m на n с остатком: m = nq + r , где r < n . Поставим nq + r вместо m в дробь m / n и применим правило (1): m / n = nq + r / n = nq / n + r / n = q + r / n .

Поскольку r < n , то дробь r / n правильная => дробь m / n оказалась представлена в виде суммы натурального числа q и правильной дроби r / n . Это действие называют выделением целой части из неправильной дроби. Например, 13/4=4*3+1/4=4*3/4+1/4=3+1/4. Принято сумму натурального числа и правильной дроби записывать без знака сложения, т.е вместо 3+1/4 пишут 3 1/4 и называют такую запись смешанным числом.

Рассмотрим вычитание положительных рациональных чисел.

Определениe Разностью положительных рациональных чисел a и b называется такое положительное рациональное число c, что a=b+c

Понятие разности определено, а как практически из одного положительного рационального числа вычесть другое?

Пусть a = m / n , b = p / n , а разность а- b пусть представляется дробью x / n . Найти x . По определению разности m / n = p / n + x / n , а по правилу (1) p / n + x / n = p + x / n . Таким образом, m = p + x , но m , p и x _числа натуральные, а для них эта запись означает, что x = m — p .

Приходим к следующему правилу:

M/n-p/n=m-p/n (2)

Умножение и деление

На рис.3 приведены такие отрезки: a, e, и e1, что a=11/3 e; e=6/5 e1. Надо узнать, каким будет значение длины данного отрезка а при единице длины е1. Так как 3 a =11 e, а 5е=6е1 , то, умножив первое равенство на 5, а второе на 11 , получим 5*3а=11*5е и 11*5е=6*11е1, или 15а=66е1. Последнее равенство означает, что а=66/15е1 , т.е. длина отрезка а при единице длины е1 выражается числом 66/15 , которое целесообразно рассматривать как произведение 11/3 и 6/5.

Определение Если положительные рациональные числа представлены дробями m/n и p/q, то их произведение есть число, представленное дробью mp/nq

m/n*p/q=mp/nq (3)

Определение Частное двух положительных рациональных чисел a и b называется такое число с, что a=b*c. Частное двух положительных рациональных чисел находят по формуле:

m/n:p/q=mq/np (4)

Заметим, что знак черты в записи дроби m/ n можно рассматривать как знак действия деления. Действительно, возьмем два натуральных числа m и n , и найдем их частное по правилу (4):

m:n=m/1:n/1=m*1/n*1=m/n

Обратно, если дана дробь m / n , то m / n = m *1/ n *1 . Так как m / n = m : n , то любое положительное рациональное число можно рассматривать как частное двух натуральных чисел. Кстати, термин «рациональное число» произошел от латинского слова ratio , что в переводе на русский язык означает «отношение» (частное).

Дробь — форма представления числа в математике. Дробная черта обозначает операцию деления. Числителем дроби называется делимое, а знаменателем — делитель. Например, в дроби числителем является число 5, а знаменателем — 7.

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя. Если дробь является правильной, то модуль её значения всегда меньше 1. Все остальные дроби являются неправильными .

Дробь называют смешанной , если она записана как целое число и дробь. Это то же самое, что и сумма этого числа и дроби:

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится, то есть, например,

Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, нужно:

1. Числитель первой дроби умножить на знаменатель второй
2. Числитель второй дроби умножить на знаменатель первой
3. Знаменатели обеих дробей заменить на их произведение

Действия с дробями

Сложение. Чтобы сложить две дроби, нужно

1. Сложить новые числители обеих дробей, а знаменатель оставить без изменений

Пример:

Вычитание. Чтобы вычесть одну дробь из другой, нужно

1. Привести дроби к общему знаменателю
2. Вычесть из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставить без изменений

Пример:

Умножение. Чтобы умножить одну дробь на другую, следует перемножить их числители и знаменатели:

Деление. Чтобы разделить одну дробь на другую, следует числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй:

Действия с дробями. В этой статье разберём примеры, всё подробно с пояснениями. Рассматривать будем обыкновенные дроби. В дальнейшем разберём и десятичные. Рекомендую посмотреть весь и изучать последовательно.

1. Сумма дробей, разность дробей.

Правило: при сложении дробей с равными знаменателями, в результате получаем дробь – знаменатель которой остаётся тот же, а числитель её будет равен сумме числителей дробей.

Правило: при вычислении разности дробей с одинаковыми знаменателями получаем дробь – знаменатель остаётся тот же, а из числителя первой дроби вычитается числитель второй.

Формальная запись суммы и разности дробей с равными знаменателями:

Примеры (1):

Понятно, что когда даны обыкновенные дроби, то всё просто, а если смешанные? Ничего сложного…

Вариант 1 – можно перевести их в обыкновенные и далее вычислять.

Вариант 2 – можно отдельно «работать» с целой и дробной частью.

Примеры (2):

Ещё:

А если будет дана разность двух смешанных дробей и числитель первой дроби будет меньше числителя второй? Тоже можно действовать двумя способами.

Примеры (3):

*Перевели в обыкновенные дроби, вычислили разность, перевели полученную неправильную дробь в смешанную.

*Разбили на целые и дробные части, получили тройку, далее представили 3 как сумму 2 и 1, при чём единицу представили как 11/11, далее нашли разность 11/11 и 7/11 и вычислили результат. Смысл изложенных преобразований заключается в том, чтобы взять (выделить) единицу и представить её в виде дроби с нужным нам знаменателем, далее от этой дроби мы уже можем вычесть другую.

Ещё пример:

Вывод: имеется универсальный подход – для того, чтобы вычислить сумму (разность) смешанных дробей с равными знаменателями их всегда можно перевести в неправильные, далее выполнить необходимое действие. После этого если в результате получаем неправильную дробь переводим её в смешанную.

Выше мы рассмотрели примеры с дробями, у которых равные знаменатели. А если знаменатели будут отличаться? В этом случае дроби приводятся к одному знаменателю и выполняется указанное действие. Для изменения (преобразования) дроби используется основное свойство дроби.

Рассмотрим простые примеры:

В данных примерах мы сразу видим каким образом можно преобразовать одну из дробей, чтобы получить равные знаменатели.

Если обозначить способы приведения дробей к одному знаменателю, то этот назовём СПОСОБ ПЕРВЫЙ .

То есть, сразу при «оценке» дроби нужно прикинуть сработает ли такой подход – проверяем делится ли больший знаменатель на меньший. И если делится, то выполняем преобразование — домножаем числитель и знаменатель так чтобы у обеих дробей знаменатели стали равными.

Теперь посмотрите на эти примеры:

К ним указанный подход не применим. Существуют ещё способы приведения дробей к общему знаменателю, рассмотрим их.

Способ ВТОРОЙ .

Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой:

*Фактически мы приводим дроби к виду, когда знаменатели становятся равными. Далее используем правило сложения робей с равными знаменателями.

Пример:

*Данный способ можно назвать универсальным, и он работает всегда. Единственный минус в том, что после вычислений может получится дробь которую необходимо будет ещё сократить.

Рассмотрим пример:

Видно что числитель и знаменатель делится на 5:

Способ ТРЕТИЙ.

Необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Это и будет общий знаменатель. Что это за число такое? Это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из чисел.

Посмотрите, вот два числа: 3 и 4, есть множество чисел, которые делятся на них – это 12, 24, 36, … Наименьшее из них 12. Или 6 и 15, на них делятся 30, 60, 90 …. Наименьшее 30. Вопрос – а как определить это самое наименьшее общее кратное?

Имеется чёткий алгоритм, но часто это можно сделать и сразу без вычислений. Например, по указанным выше примерам (3 и 4, 6 и 15) никакого алгоритма не надо, мы взяли большие числа (4 и 15) увеличили их в два раза и увидели, что они делятся на второе число, но пары чисел могут быть и другими, например 51 и 119.

Алгоритм. Для того, чтобы определить наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо:

— разложить каждое из чисел на ПРОСТЫЕ множители

— выписать разложение БОЛЬШЕГО из них

— умножить его на НЕДОСТАЮЩИЕ множители других чисел

Рассмотрим примеры:

50 и 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

в разложении большего числа не хватает одной пятёрки

=> НОК(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 и 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

в разложении большего числа не хватает двойки и тройки

=> НОК(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Наименьшее общее кратное двух простых чисел равно их произведению

Вопрос! А чем полезно нахождение наименьшего общего кратного, ведь можно пользоваться вторым способом и полученную дробь просто сократить? Да, можно, но это не всегда удобно. Посмотрите, какой получится знаменатель для чисел 48 и 72, если их просто перемножить 48∙72 = 3456. Согласитесь, что приятнее работать с меньшими числами.

Рассмотрим примеры:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

в разложении большего числа не хватает тройки

=> НОК(51,119) = 3∙7∙17

А теперь применим первый способ:

*Посмотрите какая разница в вычислениях, в первом случае их минимум, а во втором нужно потрудиться отдельно на листочке, да ещё и дробь которую получили сократить необходимо. Нахождение НОК упрощает работу значительно.

Ещё примеры:

*Во втором примере и так видно, что наименьшее число, которое делится на 40 и 60 равно 120.

ИТОГ! ОБЩИЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЙ!

— приводим дроби к обыкновенным, если есть целая часть.

— приводим дроби к общему знаменателю (сначала смотрим делится ли один знаменатель на другой, если делится то умножаем числитель и знаменатель этой другой дроби; если не делится действуем посредством других указанных выше способов).

— получив дроби с равными знаменателями, выполняем действия (сложение, вычитание).

— если необходимо, то результат сокращаем.

— если необходимо, то выделяем целую часть.

2. Произведение дробей.

Правило простое. При умножении дробей умножаются их числители и знаменатели:

Примеры:

Задача. На базу привезли 13 тонн овощей. Картофель составляет ¾ от всех завезённых овощей. Сколько килограмм картофеля завезли на базу?

С произведением закончим.

*Ранее обещал вам привести формальное объяснение основного свойства дроби через произведение, пожалуйста:

3. Деление дробей.

Деление дробей сводится к их умножению. Здесь важно запомнить, что дробь являющаяся делителем (та, на которую делят) переворачивается и действие меняется на умножение:

Данное действие может быть записано в виде так называемой четырёхэтажной дроби, ведь само деление «:» тоже можно записать как дробь:

Примеры:

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.