ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ

ТРЕУГОЛЬНИКА

Геометрия

8 класс

Сахарова Наталия Ивановна

МБОУ СОШ №28 г.Симферополя

• Точка пересечения медиан треугольника
• Точка пересечения биссектрис треугольника
• Точка пересечения высот треугольника
• Точка пересечения срединных перпендикуляров треугольника

Медиана

Медианой (BD) треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2: 1, считая от вершины.

БИССЕКТРИСА

Биссектрисой (АD) треугольника называется отрезок биссектрисы внутреннего угла треугольника. ∟ BAD = ∟ CAD.

Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке– центре вписанной в треугольник окружности.

Радиус окружности (ОМ) – перпендикуляр, опущенный из центра (т.О) на сторону треугольника

ВЫСОТА

Высотой (СD) треугольника называется отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону.

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР

Серединным перпендикуляром (DF) называется прямая, перпендикулярная стороне треугольника и делящая её пополам.

Каждая точка серединного перпендикуляра (m) к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Все серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке– центре описанной около треугольника окружности .

Радиусом описанной окружности является расстояние от центра окружности до любой вершины треугольника (ОА).

Стр. 177 №675 (рисунок)

Домашнее задание

Стр.173 § 3 определения и теоремы стр.177 № 675 (закончить)

Докажем сначала теорему о биссектрисе угла.

Теорема

Доказательство

1) Возьмём произвольную точку М на биссектрисе угла ВАС, проведём перпендикуляры МК и ML к прямым АВ и АС и докажем, что MK = ML (рис. 224). Рассмотрим прямоугольные треугольники AM К и AML. Они равны по гипотенузе и острому углу (AM - общая гипотенуза, ∠1 = ∠2 по условию). Следовательно, MK = ML.

2) Пусть точка М лежит внутри угла ВАС и равноудалена от его сторон АВ и АС. Докажем, что луч AM - биссектриса угла ВАС (см. рис. 224). Проведём перпендикуляры МК и ML к прямым АВ и АС. Прямоугольные треугольники АМК и AML равны по гипотенузе и катету (AM - общая гипотенуза, МК = ML по условию). Следовательно, ∠1 = ∠2. Но это и означает, что луч AM - биссектриса угла ВАС. Теорема доказана.

Рис. 224

Следствие 1

Следствие 2

В самом деле, обозначим буквой О точку пересечения биссектрис АА 1 и ВВ 1 треугольника АВС и проведём из этой точки перпендикуляры OK, OL и ОМ соответственно к прямым АВ, ВС и СА (рис. 225). По доказанной теореме ОК = ОМ и OK = OL. Поэтому ОМ = OL, т. е. точка О равноудалена от сторон угла АСВ и, значит, лежит на биссектрисе СС 1 этого угла. Следовательно, все три биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О, что и требовалось доказать.

Рис. 225

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

Рис. 226

Докажем теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.

Теорема

Доказательство

Пусть прямая m - серединный перпендикуляр к отрезку АВ, точка О - середина этого отрезка (рис. 227, а).

Рис. 227

1) Рассмотрим произвольную точку М прямой m и докажем, что AM = ВМ. Если точка M совпадает с точкой О, то это равенство верно, так как О - середина отрезка АВ. Пусть M и О различные точки. Прямоугольные треугольники ОAM и ОВМ равны по двум катетам (ОА = ОВ, ОМ - общий катет), поэтому AM = ВМ.

2) Рассмотрим произвольную точку N, равноудалённую от концов отрезка АВ, и докажем, что точка N лежит на прямой m. Если N - точка прямой АВ, то она совпадает с серединой О отрезка АВ и потому лежит на прямой m. Если же точка N не лежит на прямой АВ, то треугольник ANB равнобедренный, так как AN = BN (рис. 227, б). Отрезок NO - медиана этого треугольника, а значит, и высота. Таким образом, NO ⊥ АВ, поэтому прямые ON и m совпадают, т. е. N - точка прямой m. Теорема доказана.

Следствие 1

Следствие 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим серединные перпендикуляры m и n к сторонам АВ и ВС треугольника АВС (рис. 228). Эти прямые пересекаются в некоторой точке О. В самом деле, если предположить противное, т. е. что m || n, то прямая ВА, будучи перпендикулярной к прямой m, была бы перпендикулярна и к параллельной ей прямой n, а тогда через точку В проходили бы две прямые ВА и ВС, перпендикулярные к прямой n, что невозможно.

Рис. 228

По доказанной теореме ОВ = ОА и ОВ = ОС. Поэтому ОА = ОС, т. е. точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре р к этому отрезку. Следовательно, все три серединных перпендикуляра m, n и р к сторонам треугольника АВС пересекаются в точке О.

Теорема о пересечении высот треугольника

Мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Ранее было доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке (п. 64). Оказывается, аналогичным свойством обладают и высоты треугольника.

Теорема

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что прямые АА 1 ВВ 1 и СС 1 содержащие его высоты, пересекаются в одной точке (рис. 229).

Рис. 229

Проведём через каждую вершину треугольника АВС прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник А 2 В 2 С 2 . Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ = А 2 С и АВ = СВ 2 как противоположные стороны параллелограммов АВА 2 С и АВСВ 2 , поэтому А 2 С = СВ 2 . Аналогично С 2 А = АВ 2 и С 2 В = ВА 2 . Кроме того, как следует из построения, СС 1 ⊥ А 2 В 2 , АА 1 ⊥ В 2 С 2 и ВВ 1 ⊥ А 2 С 2 . Таким образом, прямые АА 1 , ВВ 1 и СС 1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А 2 В 2 С 2 . Следовательно, оНи пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Итак, с каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений). Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника .

Задачи

674. Из точки М биссектрисы неразвёрнутого угла О проведены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого угла. Докажите, что АВ ⊥ ОМ.

675. Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке А. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой О А.

676. Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса r. Найдите: а) ОА, если r = 5 см, ∠A = 60°; б) г, если ОА = 14 дм, ∠A = 90°.

677. Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите, что точка О является центром окружности, касающейся прямых АВ, ВС, АС.

678. Биссектрисы АА 1 и ВВ 1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите углы ACM и ВСМ, если: a) ∠AMB = 136°; б) ∠AMB = 111°.

679. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересекает сторону АС в точке D. Найдите: a) AD и CD, если BD = 5 см, Ас = 8,5см; б) АС, если BD = 11,4 см, AD = 3,2 см.

680. Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке D стороны ВС. Докажите, что: а) точка D - середина стороны ВС; б) ∠A - ∠B + ∠C.

681. Серединный перпендикуляр к стороне АВ равнобедренного треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите основание АС, если периметр треугольника АЕС равен 27 см, а АВ = 18 см.

682. Равнобедренные треугольники АВС и ABD имеют общее основание АВ. Докажите, что прямая CD проходит через середину отрезка АВ.

683. Докажите, что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны, то медиана AM треугольника не является высотой.

684. Биссектрисы углов при основании АВ равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что прямая СМ перпендикулярна к прямой АВ.

685. Высоты АА 1 и ВВ 1 равнобедренного треугольника АВС, проведённые к боковым сторонам, пересекаются в точке М. Докажите, что прямая МС - серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

686. Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку.

Решение

Пусть АВ - данный отрезок. Построим две окружности с центрами в точках А и В радиуса АВ (рис. 230). Эти окружности пересекаются в двух точках М 1 и М 2 . Отрезки АМ 1 , AM 2 , ВМ 1 , ВМ 2 равны друг другу как радиусы этих окружностей.

Рис. 230

Проведём прямую М 1 М 2 . Она является искомым серединным перпендикуляром к отрезку АВ. В самом деле, точки М 1 и М 2 равноудалены от концов отрезка АВ, поэтому они лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Значит, прямая М 1 М 2 и есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

687. Даны прямая а и две точки А и В, лежащие по одну сторону от этой прямой. На прямой а постройте точку М, равноудалённую от точек А к В.

688. Даны угол и отрезок. Постройте точку, лежащую внутри данного угла, равноудалённую от его сторон и равноудалённую от концов данного отрезка.

Ответы к задачам

674. Указание. Сначала доказать, что треугольник АОВ равнобедренный.

676. а) 10 см; б) 7√2 дм.

678. а) 46° и 46°; б) 21° и 21°.

679. a) АВ = 3,5 см, CD = 5 см; б) АС = 14,6 см.

683. Указание. Воспользоваться методом доказательства от противного.

687. Указание. Воспользоваться теоремой п. 75.

688. Указание. Учесть, что искомая точка лежит на биссектрисе данного угла.

1 То есть равноудалена от прямых, содержащих стороны угла.

Сильченков Илья

материалы к уроку, презентация с анимацией

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон и равна половине этой стороны. Так же по теореме средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине это стороны.

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой

Замечательных точки треугольника

Замечательные точки треугольника Точка пересечения медиан (центроид треугольника) ; Точка пересечения биссектрис, центр вписанной окружности; Точка пересечения серединных перпендикуляров; Точка пересечения высот (ортоцентр); Прямая Эйлера и окружность девяти точек; Точки Жергонна и Нагеля; Точка Ферма-Торричелли;

Точка пересечения медиан

Медиана треугольника- отрезок, соединяющий вершину любого угла треугольника с серединой противоположной стороны.

I. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 1. Обозначим буквой О точку пересечения двух медиан АА 1 и В В1 треугольника АВС и проведём среднюю линию А 1 В 1 этого треугольника. 2.Отрезок А 1 В 1 параллелен стороне АВ и 1/2 АВ = А 1 В 1 т. е. АВ = 2А1В1 (по теореме о средней линии треугольника), поэтому 1= 4 и 3= 2 (т.к. они внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и A 1 B 1 и секущей BB 1 для 1, 4 и AA 1 для 3, 2 3.Следовательно, треугольники АОВ и А 1 ОВ 1 подобны по двум углам, и, значит их стороны пропорциональны, т. е. равны отношения сторон АО и А 1 О, ВО и В 1 О, АВ и А 1 В 1 . Но АВ = 2А 1 В 1 , поэтому АО=2А 1 О и ВО=2В 1 О. Таким образом, точка О пересечения медиан ВВ 1 и АА 1 делит каждую из них в отношении 2:1 , считая от вершины. Теорема доказана. Аналогично можно доказать и про другие две медианы

Центр масс иногда называют центроидом. Именно поэтому говорят, что точка пересечения медиан- центроид треугольника. В этой же точке располагается и центр масс однородной треугольной пластинки. Если подобную пластинку поставить на булавку так, чтобы остриё булавки попало точно в центроид треугольника, то пластинка будет находиться в равновесии. Также точка пересечения медиан является центром вписанной окружности его серединного треугольника. Интересное свойство точки пересечения медиан связано с физическим понятием центра масс. Оказывается, если поместить в вершины треугольника равные массы, то их центр попадёт именно в эту точку.

Точка пересечения биссектрис

Биссектриса треугольника - отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину одного из углов треугольника с точкой лежащей на противоположной стороне.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от его сторон.

Доказательство:

С А В А 1 В 1 С 1 0 1. Обозначим буквой О точку пересечения биссектрис АА 1 и ВВ 1 треугольника АВС. 3.Воспользуемся тем, что каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон и обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Тогда ОК=OL и ОК=ОМ. А значит ОМ=OL , т. е. точка О равноудалена от сторон треугольника АВС и, значит, лежит на биссектрисе СС1 угла C . 4.Следовательво, все три биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. K L M Теорема доказана. 2.проведём из этой точки перпендикуляры ОК, OL и ОМ соответственно к прямым АВ, ВС и СА.

Точка пересечения серединных перпендикуляров

Серединный перпендикуляр- прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от вершин треугольника.

Доказательство:

В С A m n 1. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров т и п к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. O 2. Воспользовавшись теоремой о том, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка и обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему, получим, что ОВ=ОА и ОВ=ОС. 3. Поэтому ОА=ОС, т. е. точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. 4. Следовательно, все три серединных перпендикуляра m, n и p к сторонам треугольника АВС пересекаются в точке О. Теорема доказана. р

Точка пересечения высот (или их продолжений)

Высота треугольника- перпендикуляр, проведенный из вершины любого угла треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке, которая может лежать в треугольнике, а может находиться за его пределами.

Доказательство:

Докажем, что прямые АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке. В A C C2 C1 A1 A2 В 1 В 2 1. Проведём через каждую вершину треугольника АВС прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник А 2 В 2 С 2 . 2. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ=А 2 С и АВ=СВ 2 как противоположные стороны параллелограммов АВА 2 С и АВСВ 2 , поэтому А 2 С=СВ 2 . Аналогично С 2 А=АВ 2 и С 2 В=ВА 2 . Кроме того, как следует из построения, СС 1 перпендикулярен А 2 В 2 , АА 1 перпендикулярен В 2 С 2 и ВВ 1 перпендикулярен А 2 С 2 (из следствия по теореме параллельных прямых и секущей) . Таким об p азом, прямые АА 1 , ВВ 1 и СС 1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А 2 В 2 С 2 . Следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Первые две теоремы Вам хорошо известны, две другие - докажем.

Теорема 1

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр вписанной окружности.

Доказательство

основано на том факте, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.

Теорема 2

Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр описанной окружности.

Доказательство

основано на том, что серединный перпендикуляр отрезка есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка.

Теорема 3

Три высоты или три прямые , на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.

Доказательство

Через вершины треугольника `ABC` проведём прямые, параллельные противолежащим сторонам.

В пересечении образуется треугольник `A_1 B_1 C_1`.

По построению `ABA_1C` - параллелограмм, поэтому `BA_1 = AC`. Аналогично устанавливается, что `C_1B = AC`, следовательно `C_1B = AC`, точка `B` - середина отрезка `C_1A_1`.
Совершенно так же показывается, что `C` - середина `B_1A_1` и `A` - середина `B_1 C_1`.
Пусть `BN` - высота треугольника `ABC`, тогда для отрезка `A_1 C_1` прямая `BN` - серединный перпендикуляр. Откуда следует, что три прямые, на которых лежат высоты треугольника `ABC`, являются серединными перпендикулярами трёх сторон треугольника `A_1B_1C_1`; а такие перпендикуляры пересекаются в одной точке (теорема 2).
Если треугольник остроугольный, то каждая из высот есть отрезок, соединяющий вершину и некоторую точку противолежащей стороны. В этом случае точки `B` и `N` лежат в разных полуплоскостях, образуемых прямой `AM`, значит отрезок `BN` , пересекает прямую `AM`, точка пересечения лежит на высоте `BN`, т. е. лежит внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике точка пересечения высот есть вершина прямого угла.

Теорема 4

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечении в отношении `2:1`, считая от вершины . Эта точка называется центром тяжести (или центром масс) треугольника.
Есть различные доказательства этой теоремы. Приведём то, которое основано на теореме Фалеса.

Доказательство

Пусть `E`, `D` и `F` - середины сторон `AB`, `BC` и `AC` треугольника `ABC`.

Проведём медиану `AD` и через точки `E` и `F` параллельные ей прямые `EK` и `FL`. По теореме Фалеса `BK = KD` `(/_ABC`, E K ‖ A D) EK\|AD) и `DL = LC` `(/_ACB`, A D ‖ F L) AD\| FL) . Но `BD = DC = a//2`, поэтому `BK = KD = DL = LC = a//4`. По тойже теореме `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| MD\| FL) , поэтому `BM = 2MF`.

Это означает, что медиана `BF` в точке `M` пересечения с медианой `AD` разделились в отношении `2:1` считая от вершины.

Докажем, что и медиана `AD` в точке `M` разделилась в том же отношении. Рассуждения аналогичны.

Если рассмотреть медианы `BF` и `CE` то также можно показать, что они пересекаются в той точке, в которой медиана `BF` делится в отношении `2:1` т. е. в той же точке `M`. И этой точкой медиана `CE` также разделится в отношении `2:1`, считая от вершины.

В треугольнике есть так называемые четыре замечательные точки: точка пересечения медиан. Точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот и точка пересечения серединных перпендикуляров. Рассмотрим каждую из них.

Точка пересечения медиан треугольника

Теорема 1

О пересечении медиан треуголника : Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении $2:1$ начиная с вершины.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его медианы. Так как медианы делят стороны пополам. Рассмотрим среднюю линию $A_1B_1$ (Рис. 1).

Рисунок 1. Медианы треугольника

По теореме 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следовательно, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Значит треугольники $ABM$ и $A_1B_1M$ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда

Аналогично доказывается, что

Теорема доказана.

Точка пересечения биссектрис треугольника

Теорема 2

О пересечении биссектрис треугольника : Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $AM,\ BP,\ CK$ его биссектрисы. Пусть точка $O$ - точка пересечения биссектрис $AM\ и\ BP$. Проведем из этой точки перпендикуляры к сторонам треугольника (рис. 2).

Рисунок 2. Биссектрисы треугольника

Теорема 3

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

По теореме 3, имеем: $OX=OZ,\ OX=OY$. Следовательно, $OY=OZ$. Значит точка $O$ равноудалена от сторон угла $ACB$ и, значит, лежит на его биссектрисе $CK$.

Теорема доказана.

Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника

Теорема 4

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Пусть дан треугольник $ABC$, $n,\ m,\ p$ его серединные перпендикуляры. Пусть точка $O$ - точка пересечения серединных перпендикуляров $n\ и\ m$ (рис. 3).

Рисунок 3. Серединные перпендикуляры треугольника

Для доказательства нам потребуется следующая теорема.

Теорема 5

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов данного отрезка.

По теореме 3, имеем: $OB=OC,\ OB=OA$. Следовательно, $OA=OC$. Значит точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AC$ и, значит, лежит на его серединном перпендикуляре $p$.

Теорема доказана.

Точка пересечения высот треугольника

Теорема 6

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его высоты. Проведем через каждую вершину треугольника прямую, параллельную противоположной вершине стороне. Получаем новый треугольник $A_2B_2C_2$ (рис. 4).

Рисунок 4. Высоты треугольника

Так как $AC_2BC$ и $B_2ABC$ параллелограммы с общей стороной, то $AC_2=AB_2$, то есть точка $A$ -- середина стороны $C_2B_2$. Аналогично, получаем, что точка $B$ -- середина стороны $C_2A_2$, а точка $C$ -- середина стороны $A_2B_2$. Из построения мы имеем, что ${CC}_1\bot A_2B_2,\ {BB}_1\bot A_2C_2,\ {AA}_1\bot C_2B_2$. Следовательно, ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ -- серединные перпендикуляры треугольника $A_2B_2C_2$. Тогда, по теореме 4, имеем, что высоты ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ пересекаются в одной точке.