Тема урока: Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным, однородные тригонометрические уравнения.

Тип урока : Комбинированный урок.

Цели урока:

• Ввести понятие однородные тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным;
• Ввести понятие тригонометрические уравнения 1 и 2 степени;
• Сформировать у учащихся умение решать рассмотренные уравнения на базовом уровне.

• Развивать умения анализировать и делать выводы;
• Формировать умение самоанализа и контроля.

• Воспитывать чувство ответственности;
• Воспитывать умения работать в коллективе.
• Оборудование урока: плакаты, карблицы, самооценки, набор карточек для самостоятельной работы, сигнальные карточки.

Структура урока:

1. Организационный этап.

2. Этап проверки домашнего задания.

3. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоения нового материала. Ознакомление с темой урока. Постановка цели и задач.

4. Этап усвоения новых знаний.

5. Этап проверки понимания учащимися нового материала.

6. Этап закрепления нового материала.

7. Этап информации учащихся о домашнем задании.

8. Этап всесторонней проверки знаний.

9. Подведение итогов. Рефлексия.

1. Организационный этап .

• подготовить учащихся к работе на уроке.

2. Этап проверки домашнего задания .

• установить наличие и правильность выполнения д/з всеми учащимися.

3. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоения нового материала.

• с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к новым видам тригонометрических уравнений. Учитель обращает внимание учащихся на магнитную доску, где расположены карточки с несколькими тригонометрическими уравнениями, и предлагает указать способы их решения.

1) соs (4x-2)=2

3) cos 2 x-2cosx=0

5) 8 sin 2 x-6sin x-5=0

6)8 cos 2 2x+6 sin 2x-3=0

7)2sin x- 3 cos x=0

9)3 sin 2 x- 4sin x cos x +cos 2 x=0

Учащиеся внимательно смотрят на магнитную доску, обьясняют, как можно решить то или иное уравнение. Если у учителя нет замечаний, карточка с записью названного уравнения убирается с магнитной доски.

В результате проделанной работы на магнтной доске остались уравнения, способ решения которых учащиеся не нашли. (№5, 7)

4. Этап усвоения новых знаний.

Ввести понятие " Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным";

1. ввести понятие «тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным»;
2. ввести понятие однородных тригонометрических уравнений;
3. разобрать способы решения однородных тригонометрических уравнений 1 и 2 степени;
4. добиться умения определять вид однородных тригонометрических уравнений;
5. освоить общие приемы решения тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным, однородных тригонометрических уравнений.

Учитель называет виды оставшихся уравнений, и предлагает учащимся записать тему урока «Тригонометрические уравнения, решаемые путем приведения к квадратным. Однородные тригонометрические уравнения 1 и 2 степени».

Учитель делает записи на доске, а учащиеся в тетрадях:

Тригонометрические уравнения, решаемые путем приведения к квадратным.

1) Уравнения вида A×sin2 t +B×sin t + C = 0 , где А ¹ 0, решаются приведением к квадратному путем замены sin t = у (аналогично решаются уравнения с cos t, tg t, сtg t).

2) Уравнения вида A×sin2 t +B×cos t + C = 0. При решении используется основное тригонометрическое тождество sin2 t = 1 - cos2 t.

3) sin 2 t = a, а= . 4) cos 2 t = a, а= .

5) tg 2 t = a, а= . 6) ctg 2 t = a, а=

Подробно разбирается решение уравнения № 5, 4. Решение уравнения № 6, проводится при активном участии класса. Для решения уравнения № 8 вызывается ученик (по желанию).

Однородные тригонометрические уравнения 1 и 2 степени.

Уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень, называется однородным.

1) Уравнения вида A×sin t +B×cos t = 0, где А ¹ 0, В ¹ 0, называются однородными тригонометрическими уравнениями 1 степени. Они решаются путем деления обеих частей на cos t ¹ 0. Имеем A× tg t + B = 0.

2) Уравнения вида A×sin2 t +B sin t×cos t + С×cos2 t = 0 называются однородными тригонометрическими уравнениями 2 степени. Они решаются путем деления обеих частей на cos2 t ¹ 0. Имеем A× tg2 t + B× tg t + C = 0.

Учитель решает уравнение №7, с подробным объяснением. При решении уравнения № 9 с помощью вопросов подключает учащихся к активной работе. После приведения уравнения к виду 3tg2 t - 4 tg t + 1 = 0, предлагает учащимся по желанию выйти к доске и решить полученное уравнение.

1. Этап проверки понимания учащимися нового материала.

Задача: установить, усвоили ли учащиеся способы решения нового вида уравнений.

СФЗ (самостоятельная работа по формированию знаний).

Определите вид уравнения и укажите способ его решения.

2)5 sin 3x+4cos3x=0 ;

3) sin 2 x+14sinx*cosx-15cos 2 x=0;

4) 1 + 7cos2 x + 3sin2 x = 0;

5)sin2x+sin 2 x=0 .

6. Этап закрепления нового материала.

Задача: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке.

Учитель предлагает учащимся решить на доске уравнения:

7. Этап информации учащихся о домашнем задании.

Задачи: сообщить учащимся домашнее задание, дать краткий инструктаж по его выполнению.

1. просмотреть записи в тетради;
2. разобрать решение примеров № 1 - 6 из учебника, стр. 78 - 79.
3. выполнить № 167а), б); № 168 б); №169а); №170в).
4. сильные учащиеся, вместо № 167, 168, могут решить уравнение:

15*(sin 2 x+sin x+ cos 2 2x) 2 +17+31sinx

8.Этап всесторонней проверки знаний.

Задачи: всесторонне проверить знания учащихся при решении уравнений, аналогичных рассмотренным на уроке, формировать умение самоанализа и контроля.

СФН (самостоятельная работа по формированию навыков).

Решите уравнения.

1 вариант.

2 вариант

3 вариант

4 вариант

9. Подведение итогов. Рефлексия.

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений, методом введения новой переменной»

Тип урока: урок изучения нового материала

Цели урока: Образовательная: закрепить знания и умения решения простейших

тригонометрических уравнений, научить решать тригонометрические уравнения

методом введения новой переменной.

Развивающая: развить умение решения тригонометрических уравнений, развить

способность быстро и верно определять тип уравнения и способ его решения.

Воспитательная: формировать культуру труда и уважения друг к другу.

План урока: 1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний.

4. Изучение нового материала.

5. Закрепление нового материала.

6. Физкультминутка.

7. Первичный контроль знаний.

8. Подведение итогов.

9. Рефлексия.

10. Домашнее задание.

Ход урока.

1. Организационный момент .

2. Проверка домашнего задания. 18 № 13(в)

3. Актуализация знаний. Решить уравнение:

sin x = 0

cos х = 1

cos х = 2

tg x =

с tg х = 0

1. х 2 + 3х =0

   х 2 – 9 = 0

   3х 2 + 29 = 0

   х 2 +5х +6 = 0

   х 4 +2х 2 – 3 = 0

Как называются уравнения, записанные в левой колонке? в правой колонке?

Какими методами применяли для решения уравнений, левой колонки?

sin 2 x - 6 sin x + 5 =0

Как вы думаете, а какая тема урока будет сегодня?

Открыли тетради записали число, классная работа, тема урока: « Решение тригонометрических уравнений, методом введения новой переменной».

Какую цель поставим на урок? Научить решать тригонометрические уравнения, методом замены переменной.

4. Изучение нового материала.

На данном занятии будут рассмотрены наиболее часто встречающийся метод решения тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным .

К этому классу могут быть отнесены уравнения, в которые входят одна функция (синус или косинус, тангенс или котангенс) или две функции одного аргумента, но одна их них с помощью основных тригонометрических тождеств сводится ко второй. а sin 2 x + bsin x + c =0, a .

Например, если c о s х входит в уравнение в четных степенях, то заменяем его на 1- sin 2 x , если sin 2 x , то его заменяем на 1- cos 2 x .

5. Закрепление нового материала.

Пример.

Решить уравнение: sin 2 x - 6 sin x + 5 =0, 2 sin 2 х - 3 cos х -3 = 0 .

6. Физкультминутка.

Задание для снятия утомляемости глаз: нельзя водить руками, а лишь только глазами В таблице расположены числа от 1 до 20, но четыре числа пропущены. Ваша задача: назвать эти числа.

7. Первичный контроль

Работа в парах: решить уравнение:

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2. 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Обсуждаем решения уравнений, решаем, а затем проверяем решения с доской.

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1= 0

Пусть tg x = t .

3 t 2 + 2 t – 1 = 0

D = 16

t 1 = , t 2 = -1.

tg x = или tg x = -1

х = arctg + Z x = - + Z

2. 5 sin 2 x + 6cos x - 6 = 0

5( 1 - с os 2 x ) + 6cos x - 6 = 0

5 cos 2 x - 6cos x +1 = 0

Пусть cos x =t.

5 t 2 - 6 t + 1 = 0

D = 16

t 1 = , t 2 = 1.

Вернёмся к исходной переменной:

cos x = или cos x = 1

х = arccos + Z x = Z

8. Закрепление.

Решите уравнения:

1. 2 с tg 2 x + 3 с tg x + 3= 5;

2. 2sin 2 - sin х + 2 = 3.

1. Решите уравнение 2 cos 2 x - 3 cos (x ) - 3 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [ - ; ].

2. 3tg x - 2 с tg x = 5

Каждый вариант решает уравнения и сверяется с ответами на доске. За эту работу ребята себя сами оценивают. Листочки с решениями сдают. На следующем уроке объявлю оценки за эту работу.

8. Подведение итогов .

Вспомните: Какая тема урока? Какую цель мы сегодня поставили на урок? Достигли ли нашей цели?

9. Рефлексия.

"На сегодняшнем уроке я разобрался…";

"Я похвалил бы себя…";

"Особенно мне понравилось…";

"Сегодня мне удалось…";

"Я сумел…";

"Было трудно…";

"Я понял, что…";

"Теперь я могу…";

"Я почувствовал, что…";

"Я научился…";

"Меня удивило…"

10. Домашнее задание.

1) §18, № 6(в), 8(б), 9(а), 21(а).

2) §18, № 7(б), 9(г). Задачи №1 или 2.

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [ ; ].

2. = 0.

Работа в парах

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 sin 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Работа в парах

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2. 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Работа в парах

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 sin 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Работа в парах

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 sin 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Работа в парах

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2. 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x

[ ; ].

2. Решите уравнение

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ; ].

2. Решите уравнение

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ; ].

2. Решите уравнение

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ; ].

2. Решите уравнение

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ; ].

2. Решите уравнение

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ; ].

2. Решите уравнение

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ; ].

2. Решите уравнение

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ; ].

2. Решите уравнение

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ; ].

2. Решите уравнение

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ; ].

2. Решите уравнение

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели и задачи урока.

• Образовательные :
  • повторить: определение и способы решения простейших тригонометрических уравнений; определение квадратного уравнения, формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения
  • сформировать знания об отличительных признаках и способах решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.
  • уметь: выделять среди тригонометрических уравнений тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным и решать их.
• Развивающие :
  • развивать логическое мышление учащихся, память, внимание, речь; умения рассуждать и выделять главное; умение самостоятельно приобретать знания и применять их на практике, развивать навыки самоконтроля и взаимоконтроля.
• Воспитательные :
  • воспитывать уважительное отношение к одноклассникам, самостоятельность, ответственность, эстетический вкус, аккуратность, интерес к математике.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, лист самооценки.

Организационные формы общения: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Тип урока: усвоения новых знаний.

Образовательные технологии: ИКТ, проектная.

План урока.

1. Организационный момент, формирование мотивации работы учащихся.
2. Формулирование темы, цели урока.
3. Актуализация знаний и подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.
4. Этап усвоения новых знаний и способов действий.
5. Этап активной релаксации и активизации.
6. Этап первичной проверки понимания изученного.
7. Этап рефлексии и оценивания. Подведение итогов урока.
8. Этап информирования учащихся о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

Подготовительная работа

Учащихся класса необходимо заранее поделить на группы. Принцип деления учащихся на группы учитель вправе выбрать самостоятельно.
Один из вариантов – группы, в которые вошли бы учащиеся с разным уровнем математической подготовки: от «базового» до «продвинутого».
Каждая группа предварительно получает задание изучить алгоритм решения одного из типов тригонометрических уравнений (используются предложенные учителем источники информации и самостоятельно найденные). Результаты своей работы члены каждой группы представляют на одном из уроков по теме «Тригонометрические уравнения». В зависимости от объёма предлагаемого материала и его сложности одном уроке могут успеть выступить 1-2 группы, представив результаты своей работы.
Предлагаем вашему вниманию урок, на котором рассматривается решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

Из дома реальности легко забрести в лес математики, но лишь немногие способны вернуться обратно.

Х. Штейнхаус

Чем больше человек будет становиться человеком, тем меньше он согласится на что-либо иное, кроме бесконечного и неистребимого движения к новому.

Пьер Шарден

ХОД УРОКА

1. Организационный момент, формирование мотивации работы учащихся ( 3 мин.)

Приветствие. Фиксация отсутствующих, проверка готовности учащихся к уроку. Далее каждому ученику выдаётся оценочный лист. Учитель кратко комментирует правила заполнения оценочного листа и предлагает заполнить 1-3 строки. Приложение 1 .
Организация внимания учащихся: учитель цитирует учащимся Пьера Шардена, предлагает пояснить, как они поняли смысл слов (можно выслушать 2-3 человека), предлагает сделать слова девизом урока и интересуется, знают ли они, кто является их автором. Краткая историческая справка (Слайд 3).

*Инструкция по использованию Презентации – Приложение 2 .

2. Формулирование темы, цели урока (2-3 мин.).

Учитель просит сформулировать тему предыдущего урока (Решение простейших тригонометрических уравнений). Интересуется у учащихся, как они думают, существуют ли другие типы тригонометрических уравнений? (Да. Если есть «простейшие», то значит, есть более сложные, иначе нет необходимости вводить термин «простейшие», если это единственный тип тригонометрических уравнений). Исходя из выше сказанного, предлагает сформулировать тему сегодняшнего урока (Решение сложных/других/различных типов тригонометрических уравнений).
После корректировки темы, предлагает учащимся записать в их тетрадях: дату проведения урока, фразу «Классная работа» и тему урока «Решение различных типов тригонометрических уравнений: уравнения, сводящиеся к квадратным».
На столе у каждого из учащихся находятся шаблоны яблок и фломастеры. Предлагается написать на «яблоках» свои ожидания от предстоящего урока, тему которого уже сформулировали. После этого все шаблоны яблок прикрепляются, например, с помощью скотча на заранее приготовленный плакат с изображением дерева. Получается «Дерево ожиданий».

По мере достижения того или иного ожидания соответствующее яблоко можно считать созревшим и собирать в корзину. Использование этого активного метода обучения – наглядный способ отслеживания продвижения учащихся на уроке.

Возможен другой вариант: учитель ставит песочные часы перед учениками класса и предлагает ответить на вопрос о том, чему они хотят научиться на уроке, тема которого уже сформулирована (достаточно 1-2 варианта).

3. Актуализация знаний и подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала (10 мин.).

Учитель. Герберт Спенсер говорил, что если знания человека в беспорядочном состоянии, то чем больше их у него, тем сильнее расстраивается его мышление. Последуем совету этого известного британского философа (информация для общего развития личности – краткая историческая справка. (Слайд 5) Прежде чем перейти к изучению нового материала, давайте вспомним, что мы знаем из раздела «Тригонометрия».

Фронтальная работа (устно)

– Дайте определение тригонометрического уравнения.
– Сколько корней может иметь тригонометрическое уравнение?
– Что такое простейшие тригонометрические уравнения?
– Что значит решить простейшее тригонометрическое уравнение?
– Какие способы решения тригонометрических уравнений вы знаете? (2 варианта: формулы; единичная окружность).

а)Заполните таблицу:

б) Поставьте в соответствие уравнениям их решения, представленные на единичных окружностях (с комментарием)

Самостоятельная работа (Приложение 3 )

С последующей взаимопроверкой/самопроверкой (правильность ответов проверяется с помощью презентации) на умение решать простейшие тригонометрические уравнения. Демонстрируется (Слайд 12). При необходимости решения некоторых уравнений коротко комментируются.

4. Этап усвоения новых знаний и способов действий (15 мин.).

Учащиеся класса предварительно были поделены на группы, каждая из которых самостоятельно рассмотрела, используя материал рекомендуемый учителем и найденный самостоятельно, один из типов тригонометрических уравнений.
Результаты работы оформляются в виде некой рекомендации/алгоритма/схемы решения в формате презентации Power Point. Учитель в случае необходимости консультирует учащихся групп и предварительно проверяет итоговый продукт их работы.
Для презентации результатов того или иного способа решения на уроке выбирается один из представителей группы, остальные на уроке помогают отвечать на возникающие вопросы по решению данного типа тригонометрического уравнения. Учащиеся заранее знакомятся с критериями оценивания своей работы в группе.

Мне приходится делить время
между политикой и уравнениями.
Однако уравнения, по-моему, гораздо важней.
Политика существует только для данного момента,
а уравнения будут существовать вечно.

Возможные варианты выполнения задания группой. (Слайды 14-18)

1 группа . Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

Отличительные признаки уравнений, сводящихся к квадратным:

1. В уравнении присутствуют тригонометрические функции от одного аргумента или они легко сводятся к одному аргументу.
2. В уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция или все функции можно свести к одной.

Алгоритм решения:

– Используются ниже приведённые тождества; с их помощью необходимо выразить одну тригонометрическую функцию через другую:

– Выполняется подстановка.
– Выполняется преобразование выражения.
– Вводится обозначение (например, sinx = y ).
– Решается квадратное уравнение.
– Подставляется значение обозначенной величины, и решается тригонометрическое уравнение.

Пример 1

6cos 2 x + 5 sin x – 7 = 0.

Решение .

Пример 2

Пример 3

5. Этап активной релаксации и активизации (2 мин.).

6. Этап первичной проверки понимания изученного (8 мин.)

Самостоятельная работа (Приложение 5 )

Работа дифференцированная, каждый уровень сложности заданий представлен в двух вариантах.
I уровень – «3», II уровень – «4», III уровень – «5» в случае полного правильного решения. Работа будет проверена учителем к следующему уроку, отметки будут выставлены за урок.

7. Этап рефлексии и оценивания. Подведение итогов урока (2 мин.).

Заполнить пункт №6,7 листа самооценки – Приложение 1 .

8. Этап информирования учащихся о домашнем задании , инструктаж по его выполнению (2 мин.).

Дифференцированное (раздаётся каждому ученику на отдельных листах) – Приложение 6

Список литературы:

1. Корнилов С.В., Корнилова Л.Э. Методический ларец. – Петрозаводск: ПетроПресс, 2002. – 12 с.

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ города Москвы

«Политехнический техникум № 47 имени В.Г.Федорова»

Урок

по дисциплине Математика

«Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным»

Преподаватель

Протасевич Ольга Николаевна

ПРОФЕССИЯ: Наладчик аппаратного и программного обеспечения

ДИСЦИПЛИНА : Математика

КУРС : 1

СЕМЕСТР : 2

ГРУППА :

Тема урока:

«Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным».

Тип урока: комбинированный урок

Форма урока: коллективное обучение по методике В.К. Дьяченко

(обучение в системах малых групп)

Цели урока:

Образовательная – рассмотреть общие подходы, обобщить сведения о видах и методах решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным; формировать умения и навыки применения знаний при решении базовых уравнений и применению полученных знаний в профессиональной деятельности.

Развивающая – содействовать развитию логического мышления у обучающихся , развивать умения анализировать, рассуждать, сравнивать, делать выводы, осмысливать материал;

Воспитательная – воспитание познавательного интереса, элементов культуры общения, побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, формирование навыков работы в трудовом и учебном коллективе.

Задача урока:

Познакомить обучаемых с основными видами и методами решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

Обеспечение (ресурсы):

Аппаратное обеспечение: компьютер, мультимедийный проектор.

Программное обеспечение: Microsoft Excel .

Основные понятия:

Квадратное уравнение; простейшие тригонометрические уравнения; обратные тригонометрические функции; тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.

Литература:

Башмаков М.И. Математика: учебник для начального и среднего профессионального образования.– М.; «Академия», 2010. - 256 с.

Дьяченко В. К. - М.; «Народное образование», 2001 . - 496 с.

Методическая литература:

Башмаков М.И. Математика: книга для преподавателей. Методическое пособие.- М.; « Академия», 2013 г.- 224 с.

Электронные ресурсы:

Материалы сайта общественно-педагогического движения по созданию коллективного способа обучения: www.kco-kras.ru.

Этапы урока

Организационный момент.

Проверка домашнего задания.

Актуализация опорных знаний.

Изучение нового материала.

Закрепление и систематизация полученных знаний.

Рефлексия. Подведение итогов. Домашнее задание.

Ход урока

Организационный момент.

Преподаватель ставит перед обучаемыми цели урока:

1) Познакомить с основными видами тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным;

2) Познакомить с типовыми методами решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

3) Научить применять полученные знания и умения для решения стандартных уравнений;

4) Научить работать с информацией, представленной в различных формах, осуществлять взаимный контроль и самоконтроль, применять полученные знания в профессиональной деятельности.

II . Проверка домашнего задания.

Преподаватель включает презентацию «Домашнее задание», по которой обучаемые самостоятельно выполняют проверку домашнего задания, при необходимости вносят поправки и исправления в работу.

По просьбе обучаемых преподаватель комментирует решения уравнений, вызвавшие затруднения, после чего объявляет фамилии обучаемых, кто по окончании урока сдает на проверку тетради.

№ 1

Ответ:

№ 2

Ответ:

№ 3

Ответ:

№ 4

т.к. то уравнение корней не имеет

Ответ: корней нет

№ 5

Ответ:

№ 6

Ответ:

III . Актуализация опорных знаний.

Преподаватель формирует учебные группы/пары и предлагает на выданных бланках установить соответствие между уравнениями и ответами: «Перед вами слайд с учебным заданием. Установите соответствие между уравнениями (левая часть таблицы) и ответами (правая часть таблицы). Запишите номера верных пар высказываний в тетрадь».

Указанные задания дублируются на включённой презентации.

Установите соответствие

п/п

Уравнение

п/п

Ответ

Корней нет

По окончании работы преподаватель фронтально опрашивает представителей групп, после чего включает страницу презентации с правильными решениями.

Правильные ответы

п/п

Уравнение

п/п

Ответ

Корней нет

Корней нет

11.

13.

10.

12.

IV . Изучение нового материала.

Преподаватель включает презентацию нового материала «Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным. Типы уравнений и методы их решений».

Предлагает обучаемым записывать необходимые тезисы и начинает комментировать каждый слайд, после чего включает презентацию.

Введем понятие:

Общий вид квадратного уравнения:

1 тип тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным – уравнения, алгебраические относительно одной из тригонометрических функций.

Преподаватель поясняет способы решения.

1. Непосредственная подстановка

Замена ,

и

корней нет

Ответ:

Аналогичное решение имеют уравнения вида

Замена

Замена

2.Уравнения, требующие преобразования по формуле тригонометрической единицы

Замена , тогда уравнение принимает вид

и

Корней нет

Ответ:

Аналогичное решение имеют уравнения вида:

заменим , используя формулу тригонометрической единицы

.

Получим уравнение, содержащее только одну тригонометрическую функцию :

Замена

3.Уравнения, требующие преобразования по формуле связи tgx и с tgx

Применяем формулу:

Умножим уравнение на

Замена , тогда уравнение принимает вид

и

Ответ:

2 тип тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным – однородные уравнения, в которых каждое слагаемое имеет одну и туже степень.

Разделим уравнение на

Замена , тогда уравнение принимает вид

и

Ответ:

Преподаватель предлагает обобщить представленный материал и задает вопросы: «На сколько типов делятся тригонометрические уравнения, сводящихся к квадратным? Их название? Назовите способы решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным».

Преподаватель направляет действия обучаемых при составлении алгоритма решения уравнений данного типа.

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным, делятся на два основных типа:

tgx и с tgx :

2 тип – однородные уравнения, в которых каждое слагаемое имеет одну и ту же степень:

Преподаватель составляет откорректированный Алгоритм решения:

1. Определите тип уравнения. При необходимости преобразуйте уравнение так, что бы в нём присутствовала только одна тригонометрическая функция. Для этого выбери нужную формулу: или или раздели на

2. Вводится замена (например , sinx = t , cosx = t , tgx = t ).

5. Запиши ответ.

Для закрепления полученных знаний преподаватель предлагает установить соответствие между уравнениями и возможными способами их решений: «Перед вами слайд с учебным заданием.

1. Проведите классификацию уравнений по методам решения согласно приведенной ниже таблице

(распечатанные варианты таблицы находятся у вас на столах).

2. Поставьте в соответствующей графе номер метода решения.

Заполните таблицу».

Работа выполняется в парах.

п/п

Уравнение

метода

Методы:

1) Введите новую переменную.

2) Введите новую переменную

3) Введите новую переменную.

4) Преобразуйте уравнение, применив формулу, введите новую переменную.

5) Преобразуйте уравнение, применив формулу, введите новую переменную.

6) Разделите каждый член уравнения на, введите новую переменную.

7) Преобразуйте уравнение применив формулу, умножьте члены уравнения на, введите новую переменную.

Проверка задания осуществляется в форме фронтальной беседы.

Преподаватель: «Перед вами слайд с правильными ответами к учебному заданию . Выполните проверку, сверяясь с правильными ответами к учебному заданию. Выполните работу над ошибками в тетради».

Бланки с заданиями собираются в конце урока.

п/п

Уравнение

метода

2

4

2

1

7

1

3

5

6

3

6

2

6

VI . Закрепление и систематизация полученных знаний.

Преподаватель предлагает обучаемым продолжить работу в группах.

Преподаватель: «Решите уравнения. Выполните проверку результата в редакторе Microsoft Excel . По окончании решения представитель группы выходит к учебной доске и представляет решение уравнения, выполненное группой». Преподаватель проверяет решение, оценивает работу группы и при необходимости указывает на ошибки».

Преподаватель:

1 ) Обсудите способы решения в группе.

2) Запишите решение и полученный ответ в тетрадь.

3) Выполнить проверку результата в редакторе Microsoft Excel .

4) Сообщите о готовности преподавателю.

5) Объясните свое решение, записав его на доске, членам других групп.

6) Вдумчиво выслушайте выступления товарищей, при необходимости задавайте вопросы.

Учебным группам, выполнившим задания в полном объеме, предлагается выполнить задание других групп. Состав успешных групп поощряется повышением итогового балла на одну единицу.

Первая группа:

Применяем формулу:

и

Корней нет

т.к.

Ответ:

Вторая группа:

Применяем формулу:

Замена, тогда уравнение принимает вид

и

Ответ: ;

Третья группа:

Применяем формулу:

Умножим уравнение на

Замена, тогда уравнение принимает вид

и

Ответ:

Четвертая группа:

Разделим уравнение на

Замена, тогда уравнение принимает вид

и

Ответ:

Пятая группа:

Замена, тогда уравнение принимает вид

и

Ответ:; .

VII . Рефлексия. Подведение итогов. Домашнее задание.

Преподаватель: Подведем итоги вашей работы, соотнося результаты вашей деятельности с поставленной целью.

Повторим понятия:

• «Тригонометрические уравнения, которые при помощи преобразования и замены переменной приводятся к квадратным называются тригонометрическими уравнениями, сводящимися к квадратным».

1 тип – уравнения, алгебраические относительно одной из тригонометрических функций:

- непосредственная подстановка - замена или;

- уравнения, требующие преобразования по формуле тригонометрической единицы;

- уравнения, требующие преобразования по формуле связи tgx и с tgx :

2 тип – однородные уравнения, в которых каждое слагаемое имеет одну и туже степень: разделим уравнение на,затем замена.

Алгоритм решения:

1. Определите тип уравнения. При необходимости преобразуйте уравнение так, что бы в нём присутствовала только одна тригонометрическая функция.

Для этого выбери нужную формулу:

или или раздели на

2. Вводится замена (например, sinx = t , cosx = t , tgx = t ).

3. Решите квадратное уравнение.

4. Производится обратная замена, и решается простейшее тригонометрическое уравнение.

5. Запиши ответ.

Преподаватель проводит оценивание работы обучаемых, учебных групп и объявляет оценки.

Преподаватель: «Запишите домашнее задание: Башмаков М.И. Математика: учебник для начального и среднего проф. образования.– М.; «Академия», 2010. Стр. 114-115. В номере 10 решить уравнения № 4,5,7,9. стр. 118. Выполните проверку результата в редакторе Microsoft Excel ».